כלל הסנדוויץ' הוא משפט המשמש לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי . לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה ) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות.
בניסוח מתמטי: אם הסדרות
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
{
b
n
}
{\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}
{
c
n
}
{\displaystyle \left\{c_{n}\right\}}
b
n
≤
a
n
≤
c
n
{\displaystyle \ b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}}
lim
n
→
∞
b
n
=
lim
n
→
∞
c
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L}
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
lim
n
→
∞
a
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}
הכלל משמש גם בגבולות של פונקציות. אם
h
(
x
)
,
g
(
x
)
,
f
(
x
)
{\displaystyle \ h(x),g(x),f(x)}
המחשה של משפט הסנדוויץ' לפונקציות
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
≤
h
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)\leq g(x)\leq h(x)}
lim
x
→
x
0
h
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}h(x)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}
אז הגבול של
g
{\displaystyle \ g}
a
{\displaystyle \ a}
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=L}
מקרה פרטי ושימושי של כלל זה הוא במקרה שאחת הסדרות (או הפונקציות) הן המספר אפס, או כל מספר קבוע אחר.
כלל דומה המכונה כלל הפיצה או כלל חצי סנדוויץ' תקף למקרה האינסופי: אם הסדרות
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
{
b
n
}
{\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}
b
n
≤
a
n
{\displaystyle \ b_{n}\leq a_{n}}
lim
n
→
∞
b
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty }
lim
n
→
∞
a
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
ברעיון שמאחורי המשפט השתמש כבר ארכימדס במאה השלישית לפני הספירה לחישוב היקף מעגל : הוא חסם אותו מבפנים ומבחוץ במצולעים משוכללים עם אותו מספר צלעות וחישב את היקפם, ועל ידי הגדלת מספר הצלעות הלך והתקרב לערך המדויק. שיטה זו קרויה שיטת המיצוי . המשפט נוסח בצורה מדויקת על ידי גאוס .
נוכיח קודם כל את הכלל עבור סדרות, באמצעות ההגדרות הבסיסיות של גבולות.
יהי
ϵ
>
0
{\displaystyle \ \epsilon >0}
N
{\displaystyle \ N}
n
≥
N
{\displaystyle \ n\geq N}
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
L
{\displaystyle \ L}
ϵ
{\displaystyle \ \epsilon }
הסדרה
b
n
{\displaystyle \ b_{n}}
L
{\displaystyle \ L}
N
1
{\displaystyle \ N_{1}}
n
>
N
1
{\displaystyle \ n>N_{1}}
|
b
n
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle \ |b_{n}-L|<\epsilon }
L
−
ϵ
<
b
n
{\displaystyle \ L-\epsilon <b_{n}}
מצד שני הסדרה
c
n
{\displaystyle \ c_{n}}
L
{\displaystyle \ L}
N
2
{\displaystyle \ N_{2}}
n
>
N
2
{\displaystyle \ n>N_{2}}
|
c
n
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle \ |c_{n}-L|<\epsilon }
L
+
ϵ
>
c
n
{\displaystyle \ L+\epsilon >c_{n}}
נסמן ב-
N
{\displaystyle \ N}
N
1
{\displaystyle \ N_{1}}
N
2
{\displaystyle \ N_{2}}
מספר טבעי שגדול מ-
N
{\displaystyle \ N}
b
n
{\displaystyle \ b_{n}}
ϵ
{\displaystyle \ \epsilon }
c
n
{\displaystyle \ c_{n}}
L
{\displaystyle \ L}
ϵ
{\displaystyle \ \epsilon }
בנוסף ידוע שלכל מספר טבעי n מתקיים אי השוויון
b
n
≤
a
n
≤
c
n
{\displaystyle \ b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}}
לכל
n
>
N
{\displaystyle \ n>N}
L
−
ϵ
<
b
n
≤
a
n
≤
c
n
<
L
+
ϵ
{\displaystyle \ L-\epsilon <b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}<L+\epsilon }
כלומר לכל
n
>
N
{\displaystyle \ n>N}
L
−
ϵ
<
a
n
<
L
+
ϵ
{\displaystyle \ L-\epsilon <a_{n}<L+\epsilon }
התחלנו עם מספר חיובי כלשהו והראנו שהחל ממקום מסוים בסדרה, המרחק של
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
L
{\displaystyle \ L}
lim
n
→
∞
a
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}
ניתן להוכיח את הכלל עבור פונקציות בדיוק באותו אופן, או תוך שימוש בהגדרת הגבול של הפונקציות על ידי סדרות (הגדרת הגבול של היינה).
נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את גבול הסדרה
a
n
=
5
n
+
7
n
n
{\displaystyle \ a_{n}={\sqrt[{n}]{5^{n}+7^{n}}}}
7
=
7
n
n
≤
5
n
+
7
n
n
≤
7
n
+
7
n
n
=
7
2
n
{\displaystyle \ 7={\sqrt[{n}]{7^{n}}}\leq {\sqrt[{n}]{5^{n}+7^{n}}}\leq {\sqrt[{n}]{7^{n}+7^{n}}}=7{\sqrt[{n}]{2}}}
כלומר הסדרות החוסמות הן-
b
n
=
7
{\displaystyle \ b_{n}=7}
c
n
=
7
2
n
{\displaystyle \ c_{n}=7{\sqrt[{n}]{2}}}
שתי הסדרות האלו מתכנסות ל-7 ולכן גם גבול הסדרה
a
n
{\displaystyle \ a_{n}}
קל להכליל את התוצאה ולהראות באותו אופן שעבור כל אוסף (סופי) של מספרים אי שליליים
d
1
,
d
2
,
.
.
.
,
d
k
{\displaystyle \ d_{1},d_{2},...,d_{k}}
lim
n
→
∞
d
1
n
+
d
2
n
+
.
.
.
+
d
k
n
n
=
max
{
d
1
,
d
2
,
.
.
.
,
d
k
}
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{d_{1}^{n}+d_{2}^{n}+...+d_{k}^{n}}}=\max \left\{d_{1},d_{2},...,d_{k}\right\}}
נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את הגבול:
lim
x
→
0
x
⋅
sin
(
1
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)}
ידוע לנו כי פונקציית הסינוס חסומה בין הישרים
y
=
±
1
{\displaystyle y=\pm 1}
המחשה גרפית של כלל הסנדוויץ' כאשר הוא מופעל על
x
⋅
sin
(
x
)
{\displaystyle x\cdot \sin \left({x}\right)}
−
1
≤
sin
(
1
x
)
≤
1
{\displaystyle -1\leq \sin({\frac {1}{x}})\leq 1}
נניח ללא הגבלת הכלליות כי
x
>
0
{\displaystyle x>0}
x
{\displaystyle x}
−
x
≤
x
sin
(
1
x
)
≤
x
{\displaystyle -x\leq x\sin({\frac {1}{x}})\leq x}
לפי הגדרת כלל הסנדוויץ' הנ"ל, אנחנו רואים כי הפונקציות שלנו כאן הן
f
(
x
)
=
−
x
g
(
x
)
=
x
h
(
x
)
=
x
sin
(
1
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=-x\\g(x)&=x\\h(x)&=x\sin({\frac {1}{x}})\end{aligned}}}
נחשב את הגבולות של הפונקציות החוסמות:
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
(
−
x
)
=
0
lim
x
→
0
g
(
x
)
=
lim
x
→
0
x
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}(-x)=0\\\lim _{x\to 0}g(x)=\lim _{x\to 0}x=0\end{aligned}}}
לכן לפי כלל הסנדוויץ'
lim
x
→
0
x
sin
(
1
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x\sin({\frac {1}{x}})=0}
ההוכחה עבור המקרה
x
<
0
{\displaystyle x<0}
דוגמה נוספת : הגבול
lim
x
→
0
x
2
sin
(
1
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}
את הגבול הזה אי אפשר לחשב עם חוקי הגבולות הבסיסיים, באמצעות כלל הסנדוויץ'. פונקציית הסינוס חסומה בין הישרים
y
=
±
1
{\displaystyle y=\pm 1}
−
1
≤
sin
(
1
x
)
≤
1
{\displaystyle -1\leq \sin \left({\frac {1}{x}}\right)\leq 1}
נכפיל את כל אי־השוויון ב-
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
2
≤
x
2
sin
(
1
x
)
≤
x
2
{\displaystyle x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\leq x^{2}}
נותר לנו רק למצוא את הגבול של הפונקציות החוסמות כאשר
x
{\displaystyle x}
lim
x
→
0
(
−
x
2
)
=
−
0
2
=
0
lim
x
→
0
x
2
=
0
2
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}(-x^{2})=-0^{2}=0\\\lim _{x\to 0}x^{2}=0^{2}=0\end{aligned}}}
לכן לפי כלל הסנדוויץ'
lim
x
→
0
x
2
sin
(
1
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=0}
![{\displaystyle \ a_{n}={\sqrt[{n}]{5^{n}+7^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6635c9991d95a60966298f530ee7568e658bd53a)
![{\displaystyle \ 7={\sqrt[{n}]{7^{n}}}\leq {\sqrt[{n}]{5^{n}+7^{n}}}\leq {\sqrt[{n}]{7^{n}+7^{n}}}=7{\sqrt[{n}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5acda8a3a00620aabbec9399155e5b4b2d5e70)
![{\displaystyle \ c_{n}=7{\sqrt[{n}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364213d7b77cb2671a1a5e338b761e97f9ee312e)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{d_{1}^{n}+d_{2}^{n}+...+d_{k}^{n}}}=\max \left\{d_{1},d_{2},...,d_{k}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd81ffe2925edd864736a9806250f5ef2d16056)
