קבוצה קמורה

קבוצה קמורה

קבוצה לא קמורה

במתמטיקה, קבוצת נקודות במרחב וקטורי היא קמורה אם לכל שתי נקודות שבתוכה, גם הקטע המחבר את שתי הנקודות נמצא כולו בתוכה. למשל, משולש, עיגול או מקבילית הן צורות קמורות, אבל טבעת או פרסה אינן צורות קמורות.

מושג הקמירות מופיע גם בהקשר של פונקציות. הגדרה שקולה לפונקציה קמורה היא פונקציה כך שקבוצת הנקודות שנמצאות מעל הגרף שלה היא קבוצה קמורה. יחד עם זאת, בעוד שבפונקציות קיים המושג הנגדי פונקציה קעורה, אין משמעות למונח "קבוצה קעורה". קבוצה יכולה להיות קמורה או לא-קמורה.

לקמירות שימושים ברבים מתחומי המתמטיקה. למשל, בתחום האנליזה הפונקציונלית, אם קבוצה במרחב הילברט כלשהו היא קמורה וסגורה, זה מבטיח שלכל נקודה במרחב קיימת נקודה אחת ויחידה בקבוצה שמרחקה ממנה מינימלי. לפי משפט נקודת השבת של בראואר, לכל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית קמורה במרחב האוקלידי אל עצמה, יש נקודת שבת.

הגדרה

תהא $\ C$ קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי. נאמר כי $\ C$ קמורה אם ורק אם לכל שתי נקודות $\ x,y\in C$ ולכל $\ \lambda \in \left[0,1\right]$ מתקיים $\ \lambda \cdot x+(1-\lambda )\cdot y\in C$.

במרחבים נורמיים אפשר להכליל את מושג הקמירות לתכונה חזקה יותר. קבוצה K במרחב נורמי נקראת $\,\sigma$-קמורה או Perfectly Convex אם לכל סדרת מספרים ממשיים חיוביים $\ \alpha _{1},\alpha _{2},\dots$ שסכומה 1, ולכל סדרת נקודות $\ x_{1},x_{2},\dots \in K$ מתקיים: $\ \sum _{n=1}^{\infty }{\alpha _{n}x_{n}}\in K$. כל קבוצה סיגמא-קמורה היא קמורה.

קמירות במרחב מטרי

את מושג הקמירות אפשר להכליל לכל מרחב מטרי. קבוצה C במרחב מטרי היא קמורה, אם כל שתי נקודות אפשר לחבר על ידי עקום גאודזי (דהיינו תמונה איזומטרית של קטע) שעובר כולו ב-C. מושג הקמירות הזה מכליל את ההגדרה הקודמת, משום שבמרחב נורמי ממשי עקום גאודזי אינו אלא קטע. תכונה חלשה יותר נקראת קמירות מנגר (Menger), ודורשת רק שלכל שתי נקודות (שונות) x,y ב-C תהיה קיימת נקודה z ב-C הנמצאת ביניהן (כלומר $\ d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)$, כאשר d היא המטריקה של המרחב). קבוצה קמורה היא גם קמורת-מנגר, אבל לא להפך. עם זאת, במרחב מטרי שלם, המושגים מתלכדים.

מרחבי קמירות

בהינתן קבוצה $X$ ואוסף ${\mathcal {F}}$ של תתי-קבוצות של $X$, נאמר שהזוג $(X,{\mathcal {F}})$ הוא מרחב קמירות אם מתקיים:

1. $\emptyset ,X\in {\mathcal {F}}$.
2. חיתוך של אוסף כלשהו של איברים מ-${\mathcal {F}}$ נמצא ב-${\mathcal {F}}$.
3. איחוד של שרשרת איברים מ-${\mathcal {F}}$ גם ב-${\mathcal {F}}$.

לאיברים ב-${\mathcal {F}}$ קוראים קבוצות קמורות.

קמור של קבוצה

ערך מורחב – קמור

הקמור של קבוצת נקודות הוא הצורה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את הנקודות; הקמור הוא החיתוך של כל הקבוצות הקמורות שמכילות את קבוצת הנקודות.

בכתיב מתמטי, לכל מרחב וקטורי $V$ מעל הממשיים ולכל $B\subseteq V$ הקמור של $B$ מוגדר להיות:

$\operatorname {Con} (B):=\bigcap _{\begin{matrix}B\subseteq C\subseteq V\\C{\text{ is convex}}\end{matrix}}{C}$

בגלל שהמרחב הווקטורי $V$ הוא קבוצה קמורה בעצמו, הקמור של $B$ מוגדר היטב מכיוון שהוא מהווה חיתוך של לכל הפחות קבוצה אחת.

דוגמאות

• מרחב וקטורי הוא קבוצה קמורה.
• הקבוצה הריקה $\emptyset$ אף היא קמורה באופן ריק.
• כל חיתוך (סופי או אינסופי) של קבוצות קמורות הוא קבוצה קמורה
• במרחב הדו-ממדי, מקבילית, ריבוע, מלבן, עיגול, אליפסה, משולש וכן כל מצולע משוכלל, כולם קמורים.
• במרחב התלת-ממדי, ארבעון, פירמידה, קוביה, ספירה, וכן כל הפאונים המשוכללים, כולם קמורים.
• בכל מרחב בעל מספר ממדים סופי, הסימפלקס הוא קבוצה קמורה.

ראו גם

• פונקציה קמורה
• מצולע קמור
• קמור
• תחום כוכבי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצה קמורה בוויקישיתוף

• קבוצה קמורה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• קבוצה קמורה, באתר MathWorld (באנגלית)
• קבוצות קמורות, דף שער בספרייה הלאומית