Jarak Manhattan

Jarak Manhattan versus Jarak Euklides: Pada jarak Manhattan, jalur merah, kuning, dan biru memiliki jarak terpendek yang sama, yaitu 12. Pada jarak Euklides, jalur hijau memiliki jarak $6{\sqrt {2}}\approx 8,\!49$ dan menjadi jarak terpendek yang unik.

Jarak Manhattan antara dua titik adalah jumlah dari panjang ruas garis kedua titik tersebut terhadap tiap sumbu dalam koordinat Kartesius. Jarak ini disebut juga dengan panjang Manhattan, jarak taksi, jarak snake, norma $\ell _{1}$, dan jarak L¹. Nama jarak ini berasal dari tata letak jalan di pulau Manhattan yang berbentuk kisi-kisi segi empat.

Jarak ini telah digunakan dalam analisis regresi sejak abad ke-18, dan saat ini umum dirujuk dengan LASSO. Intepretasi geometris dari jarak ini tercatat dari abad ke-19, terutama oleh hasil kerja Hermann Minkowski.

Definisi

Jarak Manhattan $d_{1}$ dalam ruang vektor $\mathbb {R} ^{n}$ dengan sistem koordinat Kartesius, antara vektor $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ dan $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$, adalah jumlah panjang proyeksi ruas garis antara kedua vektor tersebut terhadap sumbu-sumbu koordinat. Secara matematis, jarak Manhattan dapat didefinisikan sebagai berikut.

${\begin{aligned}d_{1}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|_{1}&=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|\\&=|p_{1}-q_{1}|+|p_{2}-q_{2}|+\dots +|p_{n}-q_{n}|\end{aligned}}$

Sifat

Nilai dari jarak Manhattan bergantung pada rotasi dari sistem koordinat, namun tidak bergantung pada refleksi terhadap sumbu koordinat maupun pada translasi. Jarak Manhattan gagal memenuhi aksioma sisi-sudut-sisi dari daftar aksioma Hilbert (bentuk formal dari geometri Euklides); karena dua segitiga, dengan dua sisi yang sama panjang dan sudut diantara kedua sisi tersebut yang identik, belum tentu kongruen kecuali sisi-sisi pada kedua segitiga tersebut paralel.

Lingkaran

Lingkaran pada geometri jarak Manhattan yang diskrit dan kontinu

Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama (disebut dengan radius) dari sebuah titik yang disebut titik pusat. Karena metrik yang digunakan untuk mendefinisikan jarak Manhattan berbeda dengan jarak Euklides, bentuk lingkaran pada kedua geometri ini juga berbeda. Pada dimensi dua, lingkaran pada geometri dengan jarak Manhattan berbentuk persegi yang dirotasi 45° terhadap pusatnya. Gambar di kanan menunjukkan keadaan yang dimaksud, dengan warna merah menandakan titik dengan jarak yang sama dengan titik pusat, yang diwarnai dengan warna biru. Keliling lingkaran dengan radius $r$ pada geometri ini adalah $8r$, karena panjang "setiap sisi"-nya adalah $2r$. Dengan demikian, nilai yang analog dengan $\pi$ pada geometri ini adalah 4. Persamaan lingkaran satuan pada geometri jarak Manhattan adalah $|x|+|y|=1$ pada koordinat Kartesius dan

$r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}$

dalam koordinat polar. Titik-titik berjarak 1 juga disebut dengan lingkungan Von Neumann dari titik pusatnya.

Aplikasi

Jarak pada permainan catur

Dalam permainan catur, jarak yang ditempuh oleh benteng diukur dalam jarak Manhattan, sedangkan gajah menggunakan jarak Manhattan yang dirotasi sebesar 45° (Dengan kata lain, sumbu koordinatnya berupa garis diagonal). Raja dan menteri menggunakan jarak Chebyshev dalam bergerak

Sejarah

Metrik L¹ digunakan dalam analisis regresi pada tahun 1757 oleh Roger Joseph Boscovich. Intepretasi geometris dari metrik ini tercatat dari akhir abad ke-19, bersamaan dengan perkembangan geometri bukan Euklides, terutama oleh Hermann Minkowski lewat pertidaksamaan Minkowski.

Lihat pula

• Jarak Chebyshev
• Jarak Euklides
• Jarak Mahalanobis
• Jarak Minkowski

Referensi

• Krause, Eugene F. (1987). Taxicab Geometry. Dover. ISBN 978-0-486-25202-5. 
• Minkowski, Hermann (1910). Geometrie der Zahlen (dalam bahasa Jerman). Leipzig and Berlin: R. G. Teubner. JFM 41.0239.03. MR 0249269. Diakses tanggal 6 Oktober 2019. 
• Riesz, Frigyes (1910). "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen". Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman). 69 (4): 449–497. doi:10.1007/BF01457637. hdl:10338.dmlcz/128558 . 

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Taxicab Metric". MathWorld. 
• Malkevitch, Joe (1 Oktober 2007). "Taxi!". American Mathematical Society. Diakses tanggal 6 Oktober 2019.