Insieme limite

In matematica, l'insieme limite di una successione $\{x_{n}\}$ consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:

\omega (x_{n})=\bigcap _{n=0}^{\infty }{\overline {\{x_{k}:k>n\}}}\qquad n\in \mathbb {N}

dove ${\overline {\{x_{k}:k>n\}}}$ è la chiusura di $\{x_{k}:k>n\}$ .

Nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite di un'orbita $\phi (t,x_{0})$ di un sistema dinamico per un punto iniziale $x_{0}$ è l'insieme dei punti $p$ tali per cui esiste una successione di istanti temporali $t_{k}\to \pm \infty$ tale che $\phi (t_{k},x_{0})\to p$ per $k\to \infty$ .

Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico; esempi particolarmente studiati sono gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.

Sistemi dinamici discreti

Sia $X$ uno spazio metrico e sia $f:X\rightarrow X$ una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto. L'insieme $\omega$ -limite di un punto $x\in X$ , indicato con $\omega (x,f)$ , è l'insieme di tutti i punti di accumulazione della successione $\{f^{k}(x):k>n\}$ formata dalle orbite passanti per $x$ :

\omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}}

In altri termini, $y\in \omega (x,f)$ se e solo se c'è una successione strettamente crescente di numeri naturali $\{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ tale che $f^{n_{k}}(x)\rightarrow y$ con $k\rightarrow \infty$ .

Se $f$ è un omeomorfismo si può definire in modo simile l'insieme $\alpha$ -limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:

\alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})

Entrambi gli insiemi sono $f$ -invarianti e se $X$ è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.

Sistemi dinamici continui

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:

{\frac {dx}{dt}}=f(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}

sia $x(t)=\phi (t,x_{0})$ la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale $x(0)=x_{0}$ , con $\gamma (x_{0})$ la corrispondente orbita (l'immagine del flusso). Un punto $x'$ è detto punto $\omega$ -limite della soluzione $\phi (t,x_{0})$ (punto $\omega$ -limite dell'orbita $\gamma (x_{0})$ ) se esiste una successione $t_{1},\dots ,t_{k},\dots$ di istanti temporali tali che:^[1]

\phi (t_{k},x_{0})\to x'\qquad k\to \infty

t_{k}\to +\infty

L'insieme $\omega$ -limite di $\phi (t,x_{0})$ è l'insieme di tutti i punti $\omega$ -limite di $\phi (t,x_{0})$ (di $\gamma (x_{0})$ ).

L'insieme $\alpha$ -limite si definisce analogamente come l'insieme di tutti i punti $\alpha$ -limite della traiettoria $\phi (t,x_{0})$ , cioè i punti tali che $\phi (t_{k},x_{0})\to x'$ per $t_{k}\to -\infty$ e $k\to \infty$ .

Note

^ Artem S. Novozhilov - Limit sets, Lyapunov functions.

Bibliografia

(EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
(EN) A. Beck, Continuous flows in the plane , Springer (1974)
(EN) C. Gutierrez, Smoothing continuous flows on two-manifolds and recurrences Ergodic Theory and Dynam. Syst. , 6 (1986) pp. 17–44
(EN) O. Hajek, Dynamical systems in the plane , Acad. Press (1968)