Orbita (matematica)

In matematica e in particolare in geometria differenziale, l'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

{\frac {dX}{dt}}=F(X(t))

con $F:M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi $M$ , un'orbita è una soluzione $X(t)$ dell'equazione. Dal momento che il flusso $\Phi _{t}(x):M\to M$ del sistema nel punto $x_{0}$ è la soluzione quando $x_{0}$ è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero $\Phi _{t}(x_{0})\equiv X(t)$ , si ha che l'orbita passante per $x_{0}$ è talvolta scritta come l'insieme:

\{\Phi _{t}(x_{0}):-\infty <t<\infty \}

Definizione

Dato un sistema dinamico $(T,M,\Phi )$ dove $T$ è un gruppo, $M$ un insieme e $\Phi :U\to M$ , con $U\subset T\times M$ , si definisce:

I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}

Allora l'insieme:

\gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M

è l'orbita passante per $x$ . Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.

Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste $t\in T$ tale per cui $\Phi (t,x)=x$ per ogni punto $x$ dell'orbita.

Sistemi dinamici continui (flussi)

Dato un sistema dinamico continuo su $M$ con evoluzione $\Phi (t,x)$ , sia $I(x)\subset \mathbb {R}$ un intervallo aperto:

I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})\qquad \forall x\in M

La curva:

\gamma _{x}^{+}\equiv \{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}

è la semi-orbita positiva passante per $x$ , mentre:

\gamma _{x}^{-}\equiv \{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}

è la semi-orbita negativa passante per $x$ .

Sistemi dinamici discreti (mappe)

Si consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva) $\Phi (t,x):X\to X$ , con $t\in \mathbb {N}$ il numero di iterazione. Detto $x\in X$ il punto iniziale, l'orbita passante per $x$ è:

\gamma _{x}\equiv \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}

dove:

\gamma _{x}^{+}\equiv \{\Phi (t,x):t\geq 0\}

e:

\gamma _{x}^{-}\equiv \{\Phi (-t,x):t\geq 0\}

Sistemi dinamici in due dimensioni

Dato un sistema di equazioni differenziali in $\mathbb {R} ^{2}$ del seguente tipo:

\left\{{\begin{matrix}x'=f(x,y)\\y'=g(x,y)\end{matrix}}\right.

La curva descritta nel piano al variare di $t$ da ogni soluzione $x=x(t)$ e $y=y(t)$ del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella $(x,y)$ la cui velocità $(x',y')$ è data in ogni punto da $(f(x,y),g(x,y))$ . Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Sistemi dinamici lineari

L'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:

\left\{{\begin{matrix}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{matrix}}\right.

si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di $y'$ la seconda:

x''=ax'+b(cx+dy)=ax'+bcx+bdy

Dalla prima equazione si ricava $by=x'-ax$ e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:

x''=(a+d)x'+(bc-ad)x

riordinando i termini:

x''-(a+d)x'+(ad-bc)x=0

Si è così dimostrato che se $(x(t),y(t))$ è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni $x(t)$ e $y(t)$ risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:

p(\lambda )=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)=0

e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}

ossia:

\det(\lambda \,{\rm {I}}-A)

Dunque le radici:

\lambda _{1,\,2}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}

sono gli autovalori della matrice $A$ .

Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:

Nodo stabile: $\lambda _{1,\,2}<0$
Nodo instabile: $\lambda _{1,\,2}>0$
Sella (instabile): $\lambda _{1}>0$ e $\lambda _{1}<0$ oppure $\lambda _{1}<0$ e $\lambda _{1}>0$
Centro (stabile): $\lambda _{1,\,2}=\pm \beta i$
Fuoco stabile: $\lambda _{1,\,2}=\alpha \pm \beta i$ con $\alpha <0$
Fuoco instabile: $\lambda _{1,\,2}=\alpha \pm \beta i$ con $\alpha >0$