비교 판정법

미적분학에서 비교 판정법(比較判定法, 영어: comparison test)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 만약 어떤 양항 급수가 어떤 수렴하는 양항 급수보다 작은 항들로 이루어졌다면, 이 급수 역시 수렴한다.

정의와 증명

급수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$n_{0}\in \{0,1\}$
두 실수 항 급수 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 와 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

충분히 큰 $n$ 에 대하여, $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ (즉, 어떤 $N\geq n_{0}$ 및 모든 $n>N$ 에 대하여, $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ )

그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.

만약 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 이 수렴한다면, $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 역시 수렴한다.
만약 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 이 발산한다면, $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 역시 발산한다.

이를 비교 판정법이라고 한다.

증명:

두 명제는 서로 대우다. 따라서 첫 번째를 증명하면 충분하다. 급수의 유한 개의 항을 변경하는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 미치지 않으므로, 편의상 모든 $n\geq n_{0}$ 에 대하여 $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ 이라고 가정할 수 있다. 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열이 유계 수열인 것이다. 즉,

S_{n}=a_{n_{0}}+a_{n_{0}+1}+\cdots +a_{n}

이라고 하였을 때, 어떤 $M<\infty$ 및 임의의 $n\geq n_{0}$ 에 대하여

S_{n}\leq M

이어야 한다. (이는 실수의 완비성을 필요로 한다.) 이제, 마찬가지로

T_{n}=b_{n_{0}}+b_{n_{0}+1}+\cdots +b_{n}

이라고 하자. 만약 급수 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 이 수렴한다면, 어떤 $M<\infty$ 및 임의의 $n\geq n_{0}$ 에 대하여

T_{n}\leq M

이다. 그런데 항상 $a_{n}\leq b_{n}$ 이므로

S_{n}\leq T_{n}\leq M

이다. 따라서 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 역시 수렴한다.

비교 판정법은 절대 수렴의 개념을 사용하여 서술할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
$\mathbb {K}$ -바나흐 공간 $(V,\|{\cdot }\|)$
$n_{0}\in \{0,1\}$
$V$ $V$ 항의 급수 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 와 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$
- 만약 $V=(\mathbb {K} ,|{\cdot }|)$ 라면, 이는 두 실수 또는 복소수 항 급수다.

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

충분히 큰 $n$ $n$ 에 대하여, $\|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|$ $\|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|$ (즉, 어떤 $N\geq n_{0}$ $N\geq n_{0}$ 및 모든 $n>N$ $n>N$ 에 대하여, $\|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|$ $\|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|$ )
- 만약 $V=(\mathbb {K} ,|{\cdot }|)$ 라면, 노름은 절댓값이며, $\|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|$ 은 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ 이 된다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

만약 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 이 절대 수렴한다면, $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 역시 절대 수렴한다.
만약 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 이 절대 수렴하지 않는다면, $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 역시 절대 수렴하지 않는다.

두 번째 명제에서, $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 이 수렴하지 않는다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어, $a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n-1}}{n}}$ 에 대응하는 급수는 조건 수렴한다. 비교 판정법은 노름 값을 취하는 실수선의 완비성에만 의존하므로, 바나흐 공간이 아닌 노름 공간에서도 성립한다. 하지만 이 경우, 절대 수렴하는 급수는 수렴할 필요가 없다.

증명:

비교 판정법의 이전 형태에서, $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 와 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 을 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }\|a_{n}\|$ 와 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }\|b_{n}\|$ 으로 대체한다.

이상 적분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$a\in \mathbb {R}$
두 실수 값 함수 $f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

임의의 $b>a$ 에 대하여, $f$ 와 $g$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분 가능하다.
어떤 $X\geq a$ 및 임의의 $x\geq X$ 에 대하여, $0\leq f(x)\leq g(x)$

그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.

만약 이상 적분 $\int _{a}^{\infty }g(x)\,dx$ 가 수렴한다면, 이상 적분 $\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$ 역시 수렴한다.
만약 이상 적분 $\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$ 가 발산한다면, 이상 적분 $\int _{a}^{\infty }g(x)\,dx$ 역시 발산한다.

따름정리

극한 비교 판정법

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$n_{0}\in \{0,1\}$
두 실수 항 급수 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 와 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

충분히 큰 $n$ 에 대하여, $a_{n},b_{n}\neq 0$
$0<\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<\infty$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.

급수 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 이 수렴한다.
급수 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 이 수렴한다.

기타

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$n_{0}\in \{0,1\}$
두 실수 항 급수 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 와 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

충분히 큰 $n$ 에 대하여, $a_{n},b_{n}>0$
충분히 큰 $n$ 에 대하여, ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$

그렇다면, 어떤 $N\geq n_{0}$ 및 임의의 $n\geq N$ 에 대하여,

{\begin{aligned}a_{n}&=a_{N}\cdot {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot {\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\\&\leq a_{N}\cdot {\frac {b_{N+1}}{b_{N}}}\cdot {\frac {b_{N+2}}{b_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}\\&={\frac {a_{N}}{b_{N}}}\cdot b_{n}\end{aligned}}

이다. 만약 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 이 수렴한다면, $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }{\frac {a_{N}}{b_{N}}}\cdot b_{n}$ 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 도 수렴한다. 그 대우로서, 만약 $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ 이 발산한다면, $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}$ 도 발산한다.

예

급수

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n-2}}{\mathrm {e} ^{n}n!}}

를 생각하자. $a_{n}={\frac {n^{n-2}}{\mathrm {e} ^{n}n!}}$ 라고 하였을 때,

{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(1+1/n)^{n-2}}{\mathrm {e} }}<{\frac {(1+1/n)^{n-2}}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {(n+1)^{-2}}{n^{-2}}}

이다. 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 는 수렴하므로, #기타에 의하여 원래 급수는 수렴한다.

같이 보기

각주

참고 문헌

Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). 《Schaum's Outline of Calculus》 (영어) 4판. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
Buck, R. Creighton (1965). 《Advanced Calculus》 (영어) 2판. New York: McGraw-Hill.
Knopp, Konrad (1956). 《Infinite Sequences and Series》 (영어). New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). 《Calculus with Analytic Geometry》 (영어) 2판. Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
Silverman, Herb (1975). 《Complex Variables》 (영어). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3.
Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판. Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.