Geometria hiperboliczna
Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.
Określenie
[edytuj | edytuj kod]Geometrię hiperboliczną otrzymuje się z geometrii euklidesowej w wyniku zastąpienia pewnika o prostych równoległych następującym postulatem hiperbolicznym[1]:
„Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste niemające wspólnych punktów z tą prostą”.
Historia
[edytuj | edytuj kod]Pierwsze wyniki w geometrii hiperbolicznej otrzymał około roku 1700 Giovanni Gerolamo Saccheri, który starał się wykazać prawdziwość pewnika o prostych równoległych metodą sprowadzenia do sprzeczności. Założywszy zaprzeczenie wspomnianego pewnika, starał się wyprowadzić stąd zdania sprzeczne z przyjętymi założeniami. Były to twierdzenia geometrii hiperbolicznej, czego Saccheri nie był świadom i uznawszy je za wystarczająco (według ówczesnych pojęć) absurdalne, uznał sprawę za rozwiązaną, przyjmując ich absurdalność za szukaną sprzeczność. W podobny sposób postępował Johann Heinrich Lambert, który badał tzw. czworokąt Lamberta, mający trzy kąty proste i jeden ostry. Ponownie, choć tym razem świadomie, geometria hiperboliczna została odkryta przez Bolyaia, Gaussa i Łobaczewskiego, którego nazwiskiem jest czasem nazywana. Łobaczewski opublikował swoje rezultaty w roku 1830, a Bolyai, niezależnie od rosyjskiego matematyka, dwa lata później[2][3].
Geometria hiperboliczna jest szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna o stałej i ujemnej krzywiźnie. Stąd też pochodzi nazwa hiperboliczna, gdyż w zależności od krzywizny Riemann nazwał uzyskane przez siebie geometrie eliptyczną (dla krzywizny dodatniej), paraboliczną (dla krzywizny zero) oraz hiperboliczną (dla krzywizny ujemnej).
Właściwości
[edytuj | edytuj kod]Geometria hiperboliczna ma wiele właściwości innych od geometrii euklidesowej, z których każda jest konsekwencją postulatów hiperbolicznych. Oto niektóre fakty i twierdzenia geometrii hiperbolicznej:
- Przez punkt poza prostą można poprowadzić dwie (a nawet nieskończenie wiele) prostych nie przecinających danej.
- Dla dowolnego kąta istnieje prosta równoległa do obu jego ramion. Prosta ta nazywa się prostą zagradzającą kąta.
- Suma miar kątów dowolnego trójkąta jest mniejsza od miary kąta półpełnego. Inaczej mówiąc, różnica między miarą kąta półpełnego i sumą miar kątów wewnętrznych jest dodatnia, tę różnicę nazywa się defektem trójkąta. Dla dowolnego wielokąta suma defektów trójkątów przy dowolnej triangulacji jest stała. Defekt trójkąta jest proporcjonalny do pola trójkąta.
- W geometrii hiperbolicznej obok jednostki rozwartości kąta (patrz radian) można także zdefiniować jednostkę długości (w przeciwieństwie do geometrii euklidesowej, w której można to zrobić jedynie z kątem). Ponadto jeśli przyjąć odległość wierzchołka kąta prostego od jego rzutu prostokątnego na zagradzającą za równą to pole każdego trójkąta jest równe jego defektowi.
- Trójkąty o kątach odpowiednio tej samej rozwartości są do siebie przystające. W przeciwieństwie do geometrii euklidesowej, w geometrii hiperbolicznej nie ma trójkątów podobnych, które nie byłyby przystające.
Modele
[edytuj | edytuj kod]Są cztery zwykle stosowane modele geometrii hiperbolicznej.
- Model Kleina wnętrza koła jako płaszczyzny hiperbolicznej i cięciwy tego koła jako linii. Zaletą tego modelu jest prostota, ale wadą jest to, że kąty w płaszczyźnie hiperbolicznej są zniekształcone.
- Model dysku Poincaré także wykorzystuje wnętrze koła, ale linie są reprezentowane przez łuki kół prostopadłych do granicy koła oraz przez średnice okręgu.
- Model półpłaszczyzny Poincaré za płaszczyznę hiperboliczną przyjmuje półpłaszczyznę Euklidesa jako określoną przez Euklidesa linię B (samo B nie jest włączane). Hiperboliczne linie są więc zarówno półokręgami prostopadłymi do B, jak i promieniami prostopadłymi do B.
Oba modele Poincarégo zachowują hiperboliczne kąty. Wszystkie izometrie objęte tym modelem są zatem transformacjami Möbiusa.
- Czwarty model to model Minkowskiego, który wykorzystuje N-wymiarową hiperboloidę o obrocie osadzonym w (N+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ten model stosuje metrykę, mocą której odległość (a właściwie jej cosinus hiperboliczny) między dwoma punktami i na hiperboloidzie wyraża się wzorem: Ta sama metryka jest używana w szczególnej teorii względności w odniesieniu do czasoprzestrzeni.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Geometria hiperboliczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .
- ↑ A.P. Juszkiewicz (red.), Historia matematyki, t. 3, Warszawa: PWN, 1977, s. 234–240.
- ↑ Marek Kordos , Wykłady z historii matematyki, Wydanie nowe, Warszawa: Script, 2005, ISBN 83-89716-04-6, OCLC 749445354 .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Marek Kordos, Geometria Bolyaia–Łobaczewskiego – co to jest i jak ją poznawać, „Delta”, sierpień 2018, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
- Lobachevskii geometry (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].