Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przykłady liczb narcystycznych dla wykładnika równego 3. Liczba Armstronga (narcystyczna) – n -cyfrowa liczba naturalna , która jest sumą swoich cyfr podniesionych do potęgi
n
.
{\displaystyle n.}
Niech
a
=
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
−
1
{\displaystyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{k-1}}
a
n
a
n
−
1
…
a
1
{\displaystyle a_{n}a_{n-1}\ldots a_{1}}
systemie o podstawie
b
{\displaystyle b}
0
⩽
a
k
<
b
{\displaystyle 0\leqslant a_{k}<b}
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle k=1,\dots ,n}
m
{\displaystyle m}
a
=
∑
i
=
1
m
a
i
m
,
{\displaystyle a=\sum _{i=1}^{m}{a_{i}}^{m},}
to powiemy, że
a
{\displaystyle a}
m -narcystyczną liczbą w bazie
b
{\displaystyle b}
Liczba narcystyczna to n-cyfrowa n-narcystyczna liczba w bazie dziesiętnej . Tak więc liczby narcystyczne to n -cyfrowe liczby naturalne spełniające warunek:
∑
1
⩽
k
⩽
n
a
k
n
=
∑
1
⩽
k
⩽
n
a
k
10
k
−
1
,
{\displaystyle \sum \limits _{1\leqslant k\leqslant n}a_{k}^{n}=\sum \limits _{1\leqslant k\leqslant n}a_{k}10^{k-1},}
gdzie:
a
n
,
a
n
−
1
,
…
,
a
1
{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1}}
Istnieją dokładnie cztery liczby 3-narcystyczne:
153
=
1
3
+
5
3
+
3
3
{\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}
370
=
3
3
+
7
3
+
0
3
{\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}
371
=
3
3
+
7
3
+
1
3
{\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}
407
=
4
3
+
0
3
+
7
3
{\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}}
Istnieją dokładnie trzy liczby 4-narcystyczne:
1634
=
1
4
+
6
4
+
3
4
+
4
4
{\displaystyle 1634=1^{4}+6^{4}+3^{4}+4^{4}}
8208
=
8
4
+
2
4
+
0
4
+
8
4
{\displaystyle 8208=8^{4}+2^{4}+0^{4}+8^{4}}
9474
=
9
4
+
4
4
+
7
4
+
4
4
{\displaystyle 9474=9^{4}+4^{4}+7^{4}+4^{4}}
Istnieją dokładnie trzy liczby 5-narcystyczne:
54748
=
5
5
+
4
5
+
7
5
+
4
5
+
8
5
{\displaystyle 54748=5^{5}+4^{5}+7^{5}+4^{5}+8^{5}}
92727
=
9
5
+
2
5
+
7
5
+
2
5
+
7
5
{\displaystyle 92727=9^{5}+2^{5}+7^{5}+2^{5}+7^{5}}
93084
=
9
5
+
3
5
+
0
5
+
8
5
+
4
5
{\displaystyle 93084=9^{5}+3^{5}+0^{5}+8^{5}+4^{5}}
Istnieje dokładnie jedna liczba 6-narcystyczna:
548834
=
5
6
+
4
6
+
8
6
+
8
6
+
3
6
+
4
6
{\displaystyle 548834=5^{6}+4^{6}+8^{6}+8^{6}+3^{6}+4^{6}}
Istnieją dokładnie cztery liczby 7-narcystyczne:
1741725
=
1
7
+
7
7
+
4
7
+
1
7
+
7
7
+
2
7
+
5
7
{\displaystyle 1741725=1^{7}+7^{7}+4^{7}+1^{7}+7^{7}+2^{7}+5^{7}}
4210818
=
4
7
+
2
7
+
1
7
+
0
7
+
8
7
+
1
7
+
8
7
{\displaystyle 4210818=4^{7}+2^{7}+1^{7}+0^{7}+8^{7}+1^{7}+8^{7}}
9800817
=
9
7
+
8
7
+
0
7
+
0
7
+
8
7
+
1
7
+
7
7
{\displaystyle 9800817=9^{7}+8^{7}+0^{7}+0^{7}+8^{7}+1^{7}+7^{7}}
9926315
=
9
7
+
9
7
+
2
7
+
6
7
+
3
7
+
1
7
+
5
7
{\displaystyle 9926315=9^{7}+9^{7}+2^{7}+6^{7}+3^{7}+1^{7}+5^{7}}
Jeśli
x
{\displaystyle x}
10
n
−
1
⩽
x
⩽
n
9
n
.
{\displaystyle 10^{n-1}\leqslant x\leqslant n9^{n}.}
Ponieważ
10
n
−
1
>
n
9
n
{\displaystyle 10^{n-1}>n9^{n}}
n
⩾
61
,
{\displaystyle n\geqslant 61,}
pojęcia ciągi ogólne
ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów inne przykłady
twierdzenia powiązane pojęcia
