Rodzina indeksowana

Definicja intuicyjna

Rodzina indeksowana w matematyce to zestaw obiektów oznaczonych etykietami (indeksami). Jest to uogólnienie pojęcia ciągu: indeksy ciągu są liczbami naturalnymi, rodzina indeksowana może mieć dowolny zbiór indeksów.

Rodzina indeksowana, układ indeksowany lub po prostu układ – zestaw elementów oznaczonych indeksami; uogólnienie pojęcia ciągu na funkcje określone na dowolnych, nawet nieprzeliczalnych, zbiorach indeksów. Bardziej formalnie, rodzina indeksowana to funkcja odzworowująca dziedzinę $I$ (zbiór indeksów) w obraz $X$ (zbiór indeksowany).

Przykłady:

• Układ liczb rzeczywistych indeksowany liczbami całkowitymi to zbiór liczb rzeczywistych, gdzie każda liczba całkowita jest powiązana z jedną liczbą rzeczywistą.
• Rodzina prostych (będących zbiorami) indeksowana liczbami naturalnymi to zbiór prostych, gdzie każda liczba naturalna ma przypisaną do niej prostą.

Definicja

Układem lub rodziną elementów zbioru $X$ indeksowaną przez (o indeksach/wskaźnikach ze zbioru) $I$ nazywa się funkcję $x\colon I\to X$ oznaczaną symbolami $\{x_{i}\}_{i\in I},$ bądź $\{x_{i}\};$ obrazy $x(i)$ oznacza się zwyczajowo $x_{i}$.

Dowolny zbiór $X$ można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę $(x)_{x\in X}$ indeksowaną elementami tego zbioru. W szczególności: gdy $X=\{x_{i}\}_{i=1}^{n},$ to można wyróżnić związany z tym zbiorem układ elementów $(x_{i})_{i=x_{1}}^{x_{n}}$.

Elementy zbioru $X$ same mogą być zbiorami, wówczas mówi się o rodzinach zbiorów indeksowanych przez $I.$ Wtedy funkcja $x\colon I\to {\mathcal {P}}(X)$ odwzorowuje zbiór indeksów w zbiór potęgowy pewnego zbioru $X.$

Rodzinę/układ $(y_{j})_{j\in J}$ nazywa się podrodziną/podukładem rodziny/układu $(x_{i})_{i\in I},$ gdy $J\subseteq I$ oraz $y_{j}=x_{j}$ dla każdego $j\in J$.

Przykłady

Niech $[n]$ oznacza zbiór skończony $\{1,2,\dots ,n\}$ ($n$ oznacza dodatnią liczbę całkowitą). Wówczas:

• para uporządkowana to układ/rodzina indeksowana o wskaźnikach ze zbioru dwuelementowego $[2]=\{1,2\},$
• n-tka to rodzina indeksowana przez $[n],$
• ciąg nieskończony to układ/rodzina indeksowana liczbami naturalnymi,
• macierz typu $n\times m$ to rodzina indeksowana iloczynem kartezjańskim $[n]\times [m],$
• sieć to rodzina zbiorów indeksowana przez zbiór skierowany.

Rodzina a zbiór

Funkcje „na” (surjektywne) i rodziny indeksowane są formalnie równoważne – każda funkcja $f\colon I\to X$ zadaje rodzinę ${\big (}f(i){\big )}_{i\in I}.$ Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest różnowartościowa (iniektywna).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór $X:={\big \{}f(i)\colon i\in I{\big \}},$ czyli obraz $f,$ w którym elementy $f(i)=f(j)$ dla $i\neq j$ utożsamiane są z elementami zbioru $X.$ Gleichgewicht obrazuje to następująco: gdy układ jest ciągiem, to podukład jest podciągiem; a gdy jest zbiorem, podukład jest podzbiorem.

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze $I.$

Notacja wskaźnikowa

Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie:

Wektory $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ są liniowo niezależne.

Tutaj $(\mathbf {v} _{i})_{i\in \{1,\dots ,n\}}$ oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na $i$-ty wektor $\mathbf {v} _{i}$ ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje $i$-ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla $n=2$ oraz $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {v} _{2}:=[1,0]$ zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze

Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie:

Macierz kwadratowa $A$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze $A$ są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze $A$ są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

$A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},$

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu $[1,1],$ co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak więc zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

Działania

Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli $(a_{i})_{i\in I}$ jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

$\sum _{i\in I}a_{i}.$

Sumę rodziny zbiorów $(A_{i})_{i\in I}$ oznacza się analogicznie:

$\bigcup _{i\in I}A_{i}.$

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

Uogólnienia

Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii $\mathbf {C} ,$ indeksowany przez inną kategorię $\mathbf {J} .$

Zobacz też

• koprodukt
• rekord z wariantami
• rodzina parametryzowana
• suma rozłączna
• tablica

Literatura

• Japońskie Towarzystwo Matematyczne, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, wyd. II, 2 tomy, Kiyosi Itô (red.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993; cytowane jako EDM (tom).