Função constante

Em matemática, uma função constante é uma função cujo valor (saída da função) é o mesmo para todos os valores de entrada. Por exemplo, a função $y(x)=4$ é uma função constante porque o valor de $y(x)$ é $4$ independentemente do valor de entrada $x$ (ver imagem).

Propriedades básicas

Exemplo do gráfico de uma função constante. Observe que a reta azul é paralela ao eixo horizontal

Como uma função com valor real de um argumento com valor real, uma função constante tem a forma geral $y(x)=c$ ou apenas $y=c$. Por exemplo, a função $y(x)=2$ ou apenas $y=2$ é a função constante específica onde o valor de saída (imagem) é $c=2$ para qualquer que seja o valor do domínio. Ou seja, $y(0)=2,y(-2,7)=2,y(\pi )=2$ e assim por diante. Não importa qual valor de $x$ seja inserido, a saída será $2$. O domínio desta função é o conjunto de todos os números reais $\mathbb {R}$. O conjunto imagem desta função é apenas $\{2\}$.

A função constante pode ser entendida como uma função polinomial de grau zero, sendo um caso particular da função de primeiro grau (função afim) ao assumir que o coeficiente angular $m$ é nulo na equação reduzida $y=mx+b$. Sua forma geral é $f(x)=k$, onde $k$ é uma constante real. Isso acontece porque apesar de $f(x)$ ter $x$ como valor de entrada, a variável independente $x$ é indiferente na definição da função. Admitindo $y=f(x)$, podemos dizer, que "$y$ não está em função de $x$", explicitamente.

Uma função constante $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definida como $f(x)=k,\ \forall x\in \mathbb {R}$, sempre cruzará o eixo das ordenadas (eixo $y$) num ponto $(0,k)$, entretanto, por ser paralela ao eixo horizontal, tal função não necessariamente intercepta o eixo das abscissas (eixo $x$). A função $y=k$ terá raízes reais (cruzará o eixo das abscissas) apenas se $k=0$, caso especial onde a reta $f(x)$ coincide com o eixo $x$, tendo assim, infinitas soluções (dado que o domínio é um conjunto infinito).

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ funções reais e $f(x)$ uma função constante, o sistema formado pelas duas funções terá pelo menos uma solução somente se $g(x)$ não for uma função constante ou, caso seja, deverá ser definida como $g(x)=f(x)$.

Outras Propriedades

Para funções entre conjuntos pré-ordenados, as funções constantes preservam e invertem a ordem; inversamente, se f preserva e inverte a ordem, e se o domínio de f é um reticulado, então f deve ser constante.

• Toda função f constante cujo domínio e contradomínio são o mesmo conjunto X é um zero à esquerda do monóide de transformação completo em X, o que implica que f também é idempotente.
• Tem inclinação/gradiente zero .
• Toda função constante entre espaços topológicos é contínua.
• Uma função constante fatora o conjunto de um ponto, o objeto terminal na categoria de conjuntos. Esta observação é fundamental para a axiomatização da teoria dos conjuntos de F. William Lawvere, a Teoria Elementar da Categoria dos Conjuntos (ETCS).
• Para qualquer Y não vazio, todo conjunto X é isomórfico ao conjunto de funções constantes em $Y\rightarrow X$ . Para qualquer Y e cada elemento x em X , existe uma função única $x=Y\rightarrow X$de tal modo que $x(y)=x$ para todos $y\in Y$. Por outro lado, se uma função $f:Y\rightarrow X$satisfaz $f(y)=f(y')$para todos $y,y'\in Y$, $f$ é por definição uma função constante.
  • Como corolário, o conjunto de um ponto é um gerador na categoria de conjuntos.
  • Cada conjunto $X$é canonicamente isomórfico ao conjunto de funções $X^{1}$ , ou conjunto hom $hom(1,X)$ na categoria de conjuntos, onde 1 é o conjunto de um ponto. Por causa disso, e da adjunção entre produtos cartesianos e hom na categoria de conjuntos (portanto, há um isomorfismo canônico entre funções de duas variáveis ​​e funções de uma variável avaliada em funções de outra variável (única), $hom(XxY,Z)\simeq hom(X(hom(Y,Z))$ categoria de conjuntos é uma categoria monoidal fechada com o produto cartesiano de conjuntos como produto tensorial e o conjunto de um ponto como unidade tensorial. Nos isomorfismos $\lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho$ natural em X , os unitores esquerdo e direito são as projeções $p_{1}p_{2}$ os pares ordenados $(*,x)e(x,*)$ e respectivamente ao elemento, onde $*$ é o ponto único no conjunto de um ponto.

Uma função em um conjunto conectado é localmente constante se e somente se for constante.