Круговой фрактал: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
категории |
м →Литература: исключение rq/empty из статей>6К |
||
| (не показана 21 промежуточная версия 17 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Орисс|дата=20 июля 2012}} |
|||
[[Файл: |
[[Файл:The circular fractal with Hausdorff dimension ~1,77 after the third iteration.svg|right|thumb|x200px|Круговой фрактал после третьей итерации]] |
||
'''Круговой фрактал''' — [[фрактал]], построенный многократным вписыванием в [[окружность]] других окружностей меньшего радиуса. |
|||
'''Круговой фрактал''' — класс геометрических (конструктивных) [[фрактал]]ов (см., например,<ref>''Морозов А. Д.'' Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с.</ref><ref>''Божокин С. В., Паршин Д. А.'' Фракталы и мультифракталы. — Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128 с.</ref>), построенных многократным вписыванием в [[окружность]] других окружностей меньшего радиуса. (см. рис. 1a, 1b, 1c). |
|||
== Применение == |
|||
'''Построение''' |
|||
Конструктивные круговые фракталы могут найти применение в качестве моделей различных природных структур в химии, биологии, технологии материалов и др. Фракталы такого типа были предложены в работе<ref>''Чумак О. В.'' Фрактальные размерности ассоциаций МФТ. — Астрономический Циркуляр, № 1546, 1990</ref><ref>''Чумак О. В.'' Энтропии и фракталы в анализе данных. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011, 164с.</ref> в качестве моделей кластеров магнитопотоковых трубок в верхних слоях солнечной конвективной зоны. Рассматривались и более сложные конструкции такого рода, например, круговые фракталы с перекрывающимися элементами, моделирующие скрученные магнитопотоковые трубки<ref>''Чумак О. В.'' Самоподобные фракталы с перекрывающимися элементами как модель фотосферных магнитных структур. — Астрономический Циркуляр, № 1546, 1990</ref>, см.также<ref>Chumak O.V., Zhang H. — Size-flux relation in active regions. — Chinese Journal Astron. and Astroph., Vol. 3, No. 2, 2003, pp. 175—182</ref><ref>''Чумак О. В.'' Фрактальные размерности и соотношения «площадь — поток» для локальных магнитных полей на Солнце. — Астрономический Циркуляр № 1545, 1990.</ref><ref>Chumak O. — Self-similar and self-affine structures in observational data on solar activity — Asrton&Astroph. Trans. V. 24, № 2, 2005, pp. 93—99</ref>. Возможно также построение мультифрактальных конструкций подобного типа для моделирования более сложных структур. |
|||
В отличие от [[ковёр Серпинского|ковров Серпинского]], такие фракталы строятся не из прямоугольных или треугольных, а из круговых элементов. |
|||
Первые три из потенциально бесконечной последовательности таких круговых фракталов приведены на рис. 1a, 1b, и 1c. |
|||
{|align="center" |
|||
|-valign="top" |
|||
|[[Файл:The circular fractal with Hausdorff dimension ~1,43 after the third iteration.svg|thumb|x200px|Рис. 1a]] |
|||
|[[Файл:The circular fractal with Hausdorff dimension ~1,57 after the third iteration.svg|thumb|x200px|Рис. 1b]] |
|||
|[[Файл:The circular fractal with Hausdorff dimension ~1,77 after the third iteration.svg|thumb|x200px|Рис. 1c]] |
|||
|} |
|||
Для расчета [[хаусдорфова размерность|хаусдорфовых размерностей]] (''d'') этих объектов можно воспользоваться известной формулой для конструктивных фракталов: |
|||
<math> d = \log(n)/\log(1/a) </math>. |
|||
В случае рис. 1а, значение ''n''=3. Параметр а — отношение характерных длин соседних масштабов. В данном случае, это <math>r_{i+1}/r_i</math>; где <math>r_i</math> — радиус большей окружности, <math>r_{i+1}</math> — радиус окружности соседнего меньшего масштаба. Из простых геометрических соображений находим: а=0,4641. Подставляя эти значения в формулу, получаем d≈1,43. Для варианта на рис. 1b, соответственно, n=4, а=0,4142… , d≈1,57… Для варианта, изображенного на рис. 1c, имеем: n=7, a=1/3 и, размерность d≈1,77… Увеличивая число вписываемых окружностей, получаем бесконечную последовательность фрактальных объектов, с хаусдорфовыми размерностями d → 2. |
|||
== Пример == |
|||
В окружность радиуса R вписывают семь окружностей радиуса R/3 таким образом, чтобы они все касались, но не пересекали друг друга. В каждую из этих семи окружностей вписываются по семь окружностей R/9 и т. д. |
В окружность радиуса R вписывают семь окружностей радиуса R/3 таким образом, чтобы они все касались, но не пересекали друг друга. В каждую из этих семи окружностей вписываются по семь окружностей R/9 и т. д. |
||
[[Файл: |
[[Файл:The circular fractal with Hausdorff dimension ~1,77 after the fourth iteration.svg|left|thumb|Круговой фрактал после четвёртой итерации]] |
||
| ⚫ | |||
{{-}} |
|||
== Примечания == |
|||
| ⚫ | |||
{{примечания}} |
|||
== Литература == |
== Литература == |
||
* {{книга|автор=Чумак О. В.|заглавие=Энтропии и фракталы в анализе данных|ссылка=http://www.rcd.ru/details/1374|издательство=[[РХД]]|год=2011|страниц=164|isbn=978-5-93972-852-2}} |
* {{книга|автор=Чумак О. В.|заглавие=Энтропии и фракталы в анализе данных|ссылка=http://www.rcd.ru/details/1374|издательство=[[РХД]]|год=2011|страниц=164|isbn=978-5-93972-852-2}}{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }} |
||
{{Кривые}} |
|||
{{rq|wikify |
{{rq|wikify|refless}} |
||
[[Категория:Фракталы]] |
[[Категория:Фракталы]] |
||
[[Категория:Геометрия]] |
|||
Текущая версия от 06:35, 11 декабря 2021
 | Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. |
Круговой фрактал — класс геометрических (конструктивных) фракталов (см., например,[1][2]), построенных многократным вписыванием в окружность других окружностей меньшего радиуса. (см. рис. 1a, 1b, 1c).
Применение
[править | править код]Конструктивные круговые фракталы могут найти применение в качестве моделей различных природных структур в химии, биологии, технологии материалов и др. Фракталы такого типа были предложены в работе[3][4] в качестве моделей кластеров магнитопотоковых трубок в верхних слоях солнечной конвективной зоны. Рассматривались и более сложные конструкции такого рода, например, круговые фракталы с перекрывающимися элементами, моделирующие скрученные магнитопотоковые трубки[5], см.также[6][7][8]. Возможно также построение мультифрактальных конструкций подобного типа для моделирования более сложных структур. В отличие от ковров Серпинского, такие фракталы строятся не из прямоугольных или треугольных, а из круговых элементов.
Первые три из потенциально бесконечной последовательности таких круговых фракталов приведены на рис. 1a, 1b, и 1c.
 |
 |
|
Для расчета хаусдорфовых размерностей (d) этих объектов можно воспользоваться известной формулой для конструктивных фракталов: . В случае рис. 1а, значение n=3. Параметр а — отношение характерных длин соседних масштабов. В данном случае, это ; где — радиус большей окружности, — радиус окружности соседнего меньшего масштаба. Из простых геометрических соображений находим: а=0,4641. Подставляя эти значения в формулу, получаем d≈1,43. Для варианта на рис. 1b, соответственно, n=4, а=0,4142… , d≈1,57… Для варианта, изображенного на рис. 1c, имеем: n=7, a=1/3 и, размерность d≈1,77… Увеличивая число вписываемых окружностей, получаем бесконечную последовательность фрактальных объектов, с хаусдорфовыми размерностями d → 2.
Пример
[править | править код]В окружность радиуса R вписывают семь окружностей радиуса R/3 таким образом, чтобы они все касались, но не пересекали друг друга. В каждую из этих семи окружностей вписываются по семь окружностей R/9 и т. д.
Примечания
[править | править код]- ↑ Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с.
- ↑ Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. — Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128 с.
- ↑ Чумак О. В. Фрактальные размерности ассоциаций МФТ. — Астрономический Циркуляр, № 1546, 1990
- ↑ Чумак О. В. Энтропии и фракталы в анализе данных. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011, 164с.
- ↑ Чумак О. В. Самоподобные фракталы с перекрывающимися элементами как модель фотосферных магнитных структур. — Астрономический Циркуляр, № 1546, 1990
- ↑ Chumak O.V., Zhang H. — Size-flux relation in active regions. — Chinese Journal Astron. and Astroph., Vol. 3, No. 2, 2003, pp. 175—182
- ↑ Чумак О. В. Фрактальные размерности и соотношения «площадь — поток» для локальных магнитных полей на Солнце. — Астрономический Циркуляр № 1545, 1990.
- ↑ Chumak O. — Self-similar and self-affine structures in observational data on solar activity — Asrton&Astroph. Trans. V. 24, № 2, 2005, pp. 93—99
Литература
[править | править код]- Чумак О. В. Энтропии и фракталы в анализе данных. — РХД, 2011. — 164 с. — ISBN 978-5-93972-852-2. (недоступная ссылка)
 | Для улучшения этой статьи желательно: |