Эллиптические функции Якоби

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного и вспомогательных тета-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение $\operatorname {\mathrm {sn} }$ для $\sin$. Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сделано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

Введение

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Обозначение

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды $\varphi$, или обычно, в терминах $u$, данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра $m$, или как эллиптический модуль $k$, где $k^{2}=m$, или в терминах модулярного угла ${\mbox{æ}}$, где $m=\sin ^{2}{\mbox{æ}}$.

Определение как обратные к эллиптическим интегралам

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

$u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.$

Эллиптическая функция $\operatorname {sn} u$ задаётся как

$\operatorname {sn} u=\sin \varphi$

и $\operatorname {cn} u$ определяется

$\operatorname {cn} u=\cos \varphi ,$

а

$\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}.$

Здесь угол $\varphi$ называется амплитудой. $\operatorname {dn} u=\Delta (u)$ называется дельта амплитудой. Значение $m$ является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне $0\leqslant m\leqslant 1$, и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды $\varphi$ и параметра $m$.

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда $\varphi =\pi /2$, то $u$ равен четверти периода $K$.

Определение в терминах тета-функций

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим $\vartheta (0;\;\tau )$ как $\vartheta$, и $\vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )$ соответственно как $\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$ (тета константы) тогда эллиптический модуль $k$ равен $k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$. Полагая $u=\pi \vartheta ^{2}z$, получим

$\operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},$

$\operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},$

$\operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\;\tau )}}.$

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля $k(\tau )$, необходимо найти обратные к ним и выразить $\tau$ в терминах $k$. Начнём с дополнительного модуля $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$. Как функция $\tau$ запишем

$k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.$

Введём обозначение

$\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.$

Определим также ном $q$ как $q=\exp(\pi i\tau )$ и разложим $\ell$ в ряд по степеням нома $q$. Получим

$\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots }}.$

Обращение ряда даёт

$q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\ldots$

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть $\tau$ больше или равна ${\sqrt {3}}/2$, мы можем сказать, что значение $q$ меньше или равно $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$. Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для $q$.

Другие функции

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

$\operatorname {ns} (u)=1/\operatorname {sn} (u),$

$\operatorname {nc} (u)=1/\operatorname {cn} (u),$

$\operatorname {nd} (u)=1/\operatorname {dn} (u).$

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

$\operatorname {sc} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,$

$\operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)} ,$

$\operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,$

$\operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,$

$\operatorname {cs} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,$

$\operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)} .$

Более кратко запишем

$\operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr(u)} }},$

где все буквы $\operatorname {p}$, $\operatorname {q}$, и $\operatorname {r}$ являются любыми буквами $\operatorname {s}$, $\operatorname {c}$, $\operatorname {d}$, $\operatorname {n}$ (следует помнить, что $\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$).

Дополнительные теоремы

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

$\operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1,$

$\operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1.$

Видно, что ($\operatorname {cn}$, $\operatorname {sn}$, $\operatorname {dn}$) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби

$\operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}},$

$\operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}},$

$\operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)-k^{2}\,\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.$

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических

• Если $m=1$, то

$u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta }}}}=\operatorname {ln} \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatorname {tg} \varphi \right).$

Отсюда

$\sin \varphi =\operatorname {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operatorname {th} \,u.$

Отсюда

$\operatorname {cn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}}$

и

$\operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}}.$

Таким образом, при $m=1$ эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

• Если $m=0$, то

$u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .$

Отсюда

$\sin \varphi =\sin \,u=\operatorname {sn} \,u,$

а также

$\operatorname {cn} \,u=\cos \,u,$

$\operatorname {dn} \,u=1.$

Таким образом, при $m=0$ эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функций

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

$-\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2}(u)-m,$

$-m_{1}\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=m\;\operatorname {cd} ^{2}(u)-m,$

$m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-m,$

$\operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m,$

где $m+m_{1}=1$ и $m=k^{2}$.

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что $\operatorname {pq} ^{2}\cdot \operatorname {qp} ^{2}=1$, а также $\operatorname {pq} =\operatorname {pr} /\operatorname {qr}$, где $\operatorname {p}$, $\operatorname {q}$, $\operatorname {r}$ — любые буквы $\operatorname {s}$, $\operatorname {c}$, $\operatorname {d}$, $\operatorname {n}$ и $\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$.

Ном

Пусть ном равен $q=\exp(-\pi K'/K)$ и пусть аргумент — $v=\pi u/(2K)$. Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

$\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,$

$\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,$

$\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.$

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).$

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного $k$ ($0<k<1$) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

• $\mathrm {sn} \,(x;\;k)$ является решением уравнения ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0$ и $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2});$

• $\mathrm {cn} \,(x;\;k)$ является решением уравнения ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0$ и $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2});$

• $\mathrm {dn} \,(x;\;k)$ является решением уравнения ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ и $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2}).$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эллиптические функции (недоступная ссылка) — Процедуры для Matlab

Литература

• Бобылёв Д. К. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (англ.). — New York: Dover, 1972. See Chapter 16

• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций (неопр.). — М.: Наука, 1970.

• Ватсон Дж. Н., Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции (рус.). — М.: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010