Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара $(X,{\mathfrak {A}})$, где $X$ — множество, а ${\mathfrak {A}}$ — некоторая $\sigma$-алгебра его подмножеств.

Основные сведения

Основной источник:

Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство $(X,{\mathfrak {A}})$, в котором выбрана $\sigma$ — алгебра ${\mathfrak {A}}$, порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная $\sigma$ — алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской $\sigma$ — алгеброй пространства X; при этом множества $A\in {\mathfrak {A}}$ называются борелевскими.

Измеримое пространство $(X,{\mathfrak {A}})$ называется сепарабельным, если существует некоторая счётная система множеств ${\mathfrak {C}}$, отделяющая точки пространства $X$ и порождающая соответствующую $\sigma$ — алгебру ${\mathfrak {A}}$. Говорят, что система множеств ${\mathfrak {C}}$, отделяет точки пространства $X$, если для любых $x_{1},x_{2}\in X$ найдутся непересекающиеся множества $A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {C}}$ такие, что $x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2}$.

Произведением измеримых пространств $(X_{1},{\mathfrak {A}}_{1})$ и $(X_{2},{\mathfrak {A}}_{2})$ называется измеримое пространство $(X,{\mathfrak {A}})$, $X=X_{1}\times X_{2}$, в котором $\sigma$ — алгебра ${\mathfrak {A}}$, порождена произведением $\sigma$ — алгебр ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$, то есть ${\mathfrak {A}}$ порождается полукольцом ${\mathfrak {A}}_{1}\times {\mathfrak {A}}_{2}$ всевозможных прямоугольных множеств вида $A_{1}\times A_{2}$, где $A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1}$, $A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}$.

Пусть $(E,{\mathfrak {B}})$ — некоторое измеримое пространство, а $T$— конечное множество индексов $t=1,...,n.$. Измеримое пространство $(X,{\mathfrak {A}})$, где $X=E^{T}$ является $n$- кратным произведением пространства само на себя, а $\sigma$ — алгебра ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}^{T}$ есть $n$- кратное произведение соответствующих $\sigma$ — алгебр ${\mathfrak {B}}$, называется измеримым координатным пространством. Точки $x={x(1),...,x(n)}$ этого пространства $X=E^{T}$ задаются координатами $x(t),t\in T$. Если $T$ произвольное множество, то координатное пространство $X=E^{T}$ определяется как совокупность всех функций $x=x(t)$ на множестве $T$ со значениями в пространстве $E$ (отдельные значения $x(t)$ можно интерпретировать как координаты точки $x=x(t)$, принадлежащей пространству $X=E^{T}$).

Пусть $t_{1},...,t_{n}$ — произвольные точки множества $T$, где $n$- конечное число, и $B_{1},...,B_{n}$ — произвольные подмножества пространства $E$. Множество вида

${x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n}}$,

принадлежащие пространству $X$, называется цилиндрическим множеством в $X=E^{T}$. Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек $x=x(t)$, координаты которых $x(t_{1}),...,x(t_{n})$ входит в соответствующие множества $B_{1},...,B_{n}$. Система всех цилиндрических множеств, для которых $B_{1},...,B_{n}$ входят в $\sigma$ — алгебру ${\mathfrak {B}}$ пространства $E$, представляют собой полукольцо ${\mathfrak {B}}^{T}$. Измеримым координатным пространством$(X,{\mathfrak {A}})$ называется пространство $X=E^{T}$ с $\sigma$ — алгеброй ${\mathfrak {A}}$, порождённой полукольцом ${\mathfrak {B}}^{T}$.

Пусть ${\mathfrak {A}}(S)$, $S\subseteq T$ — $\sigma$ — алгебра, порождённая полукольцом ${\mathfrak {B}}^{S}$ всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами $t_{1},...,t_{n}\in S$. Если точка $x'=x'(t)$ пространства $X=E^{T}$ входит во множество $A$ из ${\mathfrak {A}}(S)$ и другая точка $x''=x''(t)$ такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают: $x'(t)=x''(t)$ при всех $t\in S$, то $x''=x''(t)$ также входит в $A$. Всякое множество A из $\sigma$ — алгебры ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(T)$ принадлежит одновременно некоторой $\sigma$ — алгебры ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(S)$, где $S$- некоторое счётное множество (зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).

Пусть $\phi =\phi (x)$ — функция на измеримом пространстве $(X,{\mathfrak {A}})$ со значениями в произвольном пространстве $Y$. Совокупность ${\mathfrak {B}}_{\phi }$ всех множеств $B\subseteq Y$ таких, что прообразы $\{\phi \in B\}=\phi ^{-1}(B)$ входят в $\sigma$-алгебру ${\mathfrak {A}}$ пространства $(X,{\mathfrak {A}})$ является $\sigma$-алгеброй.

Пусть $X$ произвольное пространство и $\phi =\phi (x)$ — функция на $X$ со значениями в измеримом пространстве $(Y,{\mathfrak {B}})$. Совокупность ${\mathfrak {A}}^{\phi }$ всех множеств $A\subseteq X$ являющихся прообразами $B$ из $\sigma$ — алгебры ${\mathfrak {B}}$: $A=\{\phi \in B\}$ является $\sigma$-алгеброй.

Пусть $(X,{\mathfrak {A}})$, $(Y,{\mathfrak {B}})$ — измеримые пространства. Функция $\phi =\phi (x)$ называется (${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}$) измеримой, если для $B\in {\mathfrak {B}}$ прообраз $A=\{\phi \in B\}$ входит в $\sigma$-алгебру ${\mathfrak {A}}$. Если ${\mathfrak {C}}$ некоторая система множеств, порождающая $\sigma$-алгебру ${\mathfrak {B}}$, то функция $\phi$ является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого $B\in {\mathfrak {C}}$ прообраз $\{\phi \in B\}$ входит в ${\mathfrak {A}}$.