Измерительный мост

Мост Уитстона состоит их 4‑х резисторов, соединённых в виде четырёхугольника (ромба). К двум противоположным вершинам «ромба» подключён источник постоянного тока. К двум другим противоположным вершинам подключён гальванометр. — Принципиальная схема моста Уитстона. Обозначения:
$R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ , $R_{x}$ — «плечи» моста;
AC — диагональ питания;
BD — измерительная диагональ;
$R_{x}$ — элемент, сопротивление (Ом) которого требуется измерить;
$R_{1}$ , $R_{2}$ и $R_{3}$ — элементы, сопротивления (Ом) которых известны;
$R_{2}$ — элемент, сопротивление которого может регулироваться (например, реостат);
$V_{G}$ — гальванометр (В);
$R_{G}$ (не показано) — сопротивление гальванометра (Ом).

Измери́тельный мост (мост Уи́тстона, мо́стик Ви́тстона^[1], англ. Wheatstone bridge) — электрическая схема или устройство для измерения электрического сопротивления. Предложен в 1833 году Самуэлем Хантером Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) и в 1843 году усовершенствован Чарльзом Уитстоном^[2]. Мост Уитстона относится к одинарным мостам в отличие от двойных мостов Томсона. Мост Уитстона — электрическое устройство, механическим аналогом которого являются аптекарские рычажные весы.

Измерение сопротивлений с помощью моста Уитстона

Принцип измерения сопротивления основан на уравнивании потенциала средних выводов двух ветвей (см. рисунок).

В одну из ветвей включён двухполюсник (резистор), сопротивление которого требуется измерить ( $R_{x}$ ).

Другая ветвь содержит элемент, сопротивление которого может регулироваться ( $R_{2}$ ; например, реостат).

Между ветвями (точками B и D; см. рисунок) находится индикатор. В качестве индикатора могут применяться:

гальванометр;
нуль-индикатор — прибор, отклонение стрелки которого показывает наличие тока в цепи и его направление, но не величину. На шкале такого прибора отмечено только одно число — ноль;
вольтметр ( $R_{G}$ принимают равным бесконечности: $R_{G}=\infty$ );
амперметр ( $R_{G}$ принимают равным нулю: $R_{G}=0$ ).

Обычно в качестве индикатора используется гальванометр.

Сопротивление $R_{2}$ второй ветви изменяют до тех пор, пока показания гальванометра не станут равны нулю, то есть потенциалы точек узлов D и B не станут равны. По отклонению стрелки гальванометра в ту или иную сторону можно судить о направлении протекания тока на диагонали моста BD (см. рисунок) и указывают в какую сторону изменять регулируемое сопротивление $R_{2}$ для достижения «баланса моста».

Когда гальванометр показывает ноль, говорят, что наступило «равновесие моста» или «мост сбалансирован». При этом:

отношение $R_{2}/R_{1}$ равно отношению $R_{x}/R_{3}$ :

{\frac {R_{2}}{R_{1}}}={\frac {R_{x}}{R_{3}}},

откуда

R_{x}={\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}};

разность потенциалов между точками B и D (см. рисунок) равна нулю;
ток по участку BD (через гальванометр) (см. рисунок) не протекает (равен нулю).

Сопротивления $R_{1}$ , $R_{3}$ должны быть известны заранее.

Изменяют сопротивление $R_{2}$ до баланса моста.

Вычисляют искомое сопротивление $R_{x}$ :

R_{x}={\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}}.

Вывод формулы см. ниже.

Точность

При плавном изменении сопротивления $R_{2}$ гальванометр способен зафиксировать момент наступления равновесия с большой точностью. Если величины $R_{1}$ , $R_{2}$ и $R_{3}$ были измерены с малой погрешностью, величина $R_{x}$ будет вычислена с большой точностью.

В процессе измерения сопротивление $R_{x}$ не должно изменяться, так как даже небольшие его изменения приведут к нарушению баланса моста.

Недостатки

К недостаткам предложенного способа можно отнести:

необходимость регулирования сопротивления $R_{2}$ . На поиски «равновесия» тратится время. Гораздо быстрее измерить несколько параметров цепи и вычислить $R_{x}$ по другой формуле.

Условие баланса моста

Выведем формулу для расчёта сопротивления $R_{x}$ .

Первый способ

Считается, что сопротивление гальванометра $R_{G}$ мало настолько, что им можно пренебречь ( $R_{G}=0$ ). То есть, можно вообразить, что точки B и D соединены (см. рисунок).

Воспользуемся правилами (законами) Кирхгофа. Выберем:

направления токов — см. рисунок;
направления обхода замкнутых контуров — по часовой стрелке.

По первому правилу Кирхгофа сумма токов, входящих в точку (узел) равна нулю:

для точки (узла) B:

I_{3}\ +I_{G}\ -I_{x}\ =\ 0;

для точки (узла) D:

I_{1}\ -I_{2}\ -I_{G}\ =\ 0.

По второму правилу Кирхгофа сумма напряжений в ветвях замкнутого контура равна сумме ЭДС в ветвях этого контура:

для контура ABD:

(R_{3}\cdot I_{3})\ -(R_{G}\cdot I_{G})\ -(R_{1}\cdot I_{1})=0;

для контура BCD:

(R_{x}\cdot I_{x})\ -(R_{2}\cdot I_{2})\ +(R_{G}\cdot I_{G})=0.

Запишем 4‑е последних уравнения для «сбалансированного моста» (то есть учтём, что $I_{G}=0$ ):

{\begin{cases}I_{3}=I_{x}\\I_{1}=I_{2}\\R_{3}\cdot I_{3}=R_{1}\cdot I_{1}\\R_{x}\cdot I_{x}=R_{2}\cdot I_{2}\end{cases}}

Поделив 4‑е уравнение на 3‑е, получим:

{\frac {R_{x}\cdot I_{x}}{R_{3}\cdot I_{3}}}={\frac {R_{2}\cdot I_{2}}{R_{1}\cdot I_{1}}}.

Выразив $R_{x}$ , получим:

R_{x}={\frac {R_{2}\cdot I_{2}\cdot R_{3}\cdot I_{3}}{I_{1}\cdot R_{1}\cdot I_{x}}}.

С учётом того, что

{\begin{cases}I_{3}=I_{x}\\I_{1}=I_{2}\end{cases}}

получим

R_{x}={\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}}}.

Второй способ

Считается, что сопротивление гальванометра $R_{G}$ велико настолько, что точки B и D можно считать не соединёнными (см. рисунок) ( $R_{G}=\infty$ ).

Введём обозначения:

$\varphi _{A}$ , $\varphi _{B}$ , $\varphi _{C}$ и $\varphi _{D}$ — соответственно потенциалы точек A, B, C и D, В;
$U_{AC}$ — напряжение между точками C и A, В:

U_{AC}=\varphi _{A}-\varphi _{C};

$U_{DB}$ — напряжение между точками D и B, В:

U_{DB}=\varphi _{D}-\varphi _{B};

$R_{ADC}$ — сопротивление участка ADC (последовательное соединение), Ом:

R_{ADC}=R_{1}+R_{2};

$R_{ABC}$ — сопротивление участка ABC (последовательное соединение), Ом:

R_{ABC}=R_{3}+R_{x};

$I_{ADC}$ , $I_{ABC}$ — токи, протекающие на участках ADC и ABC соответственно, А.

По закону Ома токи $I_{ADC}$ , $I_{ABC}$ равны:

I_{ADC}={\frac {U_{AC}}{R_{ADC}}}={\frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}};

I_{ABC}={\frac {U_{AC}}{R_{ABC}}}={\frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}.

По закону Ома падения напряжения на участках DC и BC равны:

U_{DC}=I_{ADC}\cdot R_{2};

U_{BC}=I_{ABC}\cdot R_{x}.

Потенциалы в точках D и B равны:

\varphi _{D}=\varphi _{C}+U_{DC}=\varphi _{C}+I_{ADC}\cdot R_{2};

\varphi _{B}=\varphi _{C}+U_{BC}=\varphi _{C}+I_{ABC}\cdot R_{x}.

Напряжение между точками D и B равно:

U_{DB}=\varphi _{D}-\varphi _{B}=\left(\varphi _{C}+I_{ADC}\cdot R_{2}\right)\ -\left(\varphi _{C}+I_{ABC}\cdot R_{x}\right)\ =I_{ADC}\cdot R_{2}-I_{ABC}\cdot R_{x}.

Подставив выражения для токов $I_{ADC}$ и $I_{ABC}$ , получим:

U_{DB}={\frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot R_{2}-{\frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}\cdot R_{x}.

Учитывая, что для «сбалансированного моста» $U_{DB}=0$ , получим:

0={\frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot R_{2}-{\frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}\cdot R_{x}.

Поместив слагаемые по разные стороны от знака равенства, получим:

{\frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot R_{2}={\frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}\cdot R_{x}.

Сократив $U_{AC}$ , получим:

{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {R_{x}}{R_{3}+R_{x}}}.

Умножив на произведение знаменателей, получим:

R_{2}\cdot (R_{3}+R_{x})=R_{x}\cdot (R_{1}+R_{2}).

Раскрыв скобки, получим:

R_{2}\cdot R_{3}+R_{2}\cdot R_{x}=R_{x}\cdot R_{1}+R_{x}\cdot R_{2}.

После вычитания $R_{x}\cdot R_{2}$ получим:

R_{2}\cdot R_{3}=R_{1}\cdot R_{x}.

Выразив $R_{x}$ , получим:

R_{x}={\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}}}.

В данном случае мостовая схема рассматривалась, как комбинация двух делителей, а влияние гальванометра считалось пренебрежимо малым.

Общее сопротивление без выполнения условия баланса

В случае, если условие баланса не выполнено, расчёт общего сопротивления довольно громоздкий.

Пользуясь правилами Кирхгофа, получаем систему уравнений:

${\begin{cases}I_{\Sigma }=I_{1}+I_{4}=I_{2}+I_{3}\\I_{5}=I_{1}-I_{2}=I_{4}-I_{3}\\R_{\Sigma }\cdot I_{\Sigma }=R_{1}\cdot I_{1}+R_{2}\cdot I_{2}=R_{3}\cdot I_{3}+R_{4}\cdot I_{4}\\R_{5}\cdot I_{5}=R_{4}\cdot I_{4}-R_{1}\cdot I_{1}=R_{2}\cdot I_{2}-R_{3}\cdot I_{3}\end{cases}}$

Тогда после исключения из системы всех токов получим окончательный результат, представленный в наиболее кратком виде:

$R_{\Sigma }={\frac {\sum _{1=i<j<k}^{5}R_{i}R_{j}R_{k}-R_{5}\left(R_{1}R_{4}+R_{2}R_{3}\right)}{\sum _{1=i<j}^{5}R_{i}R_{j}-\left(R_{1}R_{2}+R_{3}R_{4}\right)}},$

где в суммах в числителе и в знаменателе суммируются все возможные комбинации из произведений сопротивлений без повторений сомножителей (всего таких комбинаций по десять).

Схемы подключения

На практике для измерения сопротивления с помощью мостовых схем применяют двухпроводное и четырёхпроводное подключение.

Двухпроводная схема подключения применяется при измерениях сопротивлений величиной выше 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по одному проводу.

Четырёхпроводная схема подключения применяется при измерении сопротивления величиной до 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по два провода. Это позволяет исключить влияние сопротивления проводов на величину измеренного сопротивления $R_{x}$ .

История создания

В 1833 году Самуэль Хантер Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) предложил схему, позже получившую название «мост Уитстона».

В 1843 году схема была усовершенствована Чарльзом Уитстоном (англ. Charles Wheatstone)^[2] и стала называться «мостом Уитстона».

В 1861 году лорд Кельвин использовал мост Уитстона для измерения малых сопротивлений.

В 1865 году Максвелл с помощью изменённого моста Уитстона измерял силу переменного тока.

В 1926 году Алан Блюмлейн усовершенствовал мост Уитстона и запатентовал. Новое устройство стали называть в честь изобретателя.

Классификация

В промышленности широко применяются уравновешенные и неуравновешенные измерительные мосты.

Работа уравновешенных мостов (наиболее точных) основана на «нулевом методе».

С помощью неуравновешенных мостов (менее точных) измеряемую величину определяют по показаниям измерительного прибора.

Измерительные мосты подразделяются на неавтоматические и автоматические.

В неавтоматических мостах балансирование производится вручную (оператором).

В автоматических балансировка моста происходит с помощью сервопривода по величине и знаку напряжения между точками D и B (см. рисунок).

Применение для измерения неэлектрических величин

Мост Уитстона часто используется для измерения самых разнообразных неэлектрических параметров, например:

механических деформаций упругих элементов в тензометрии;
температуры;
освещённости;
состава вещества, в том числе влажности и газовом анализе;
теплопроводности и теплоёмкости и многого другого.

Принцип действия всех этих приборов основан на измерении сопротивления чувствительного резистивного элемента-датчика, сопротивление которого изменяется при изменении воздействующей на него неэлектрической величины. Резистивный датчик (датчики) включается электрически в одно или несколько плеч моста Уитстона и измерение неэлектрической величины сводится к измерению изменения сопротивления датчиков.

Применение моста Уитстона в этих приложениях обусловлено тем, что позволяет измерять относительно малое изменение сопротивления, то есть в случаях когда $\Delta R_{x}/R_{x}\ll 1.$

Обычно в современных измерительных приборах мост Уитстона подключается через аналого-цифровой преобразователь к цифровому вычислительному устройству, например, к микроконтроллеру, обрабатывающему сигнал моста. При обработке, как правило, производится линеаризация, масштабирование с преобразованием в численное значение неэлектрической величины в единицы её измерения, коррекция систематических погрешностей датчиков и измерительной схемы, индикация в удобном и наглядном для пользователя цифровом и/или машинно-графическом виде. Также может производиться статистическая обработка измерений, гармонический анализ и другие виды обработки.

Принцип работы тензометрических измерителей

Тензодатчики тензорезисторы применяются в:

электронных весах;
динамометрах
измерителях давления (манометрах);
измерителях крутящего момента на валах (торсиометрах);
измерителях деформации деталей под воздействием механической нагрузки и др.

При этом тензорезисторы, наклеенные на упругие деформируемые детали включаются в плечи моста, а полезным сигналом является напряжение диагонали моста между точками D и B (см. рисунок).

Если выполняется соотношение:

R_{1}/R_{2}=R_{3}/R_{x},

то независимо от напряжения на диагонали моста между точками A и C (напряжения) между точками D и B ( $U_{DB}$ )) будет равно нулю:

U_{DB}=0.

Но если $R_{1}/R_{2}\neq R_{3}/R_{x},$ то на диагонали появится ненулевое напряжение («разбаланс» моста), однозначно связанное с изменением сопротивления тензорезистора, и, соответственно, с величиной деформации упругого элемента, при измерении разбаланса моста измеряют деформацию, а так как деформация связана, например, в случае весов, с весом взвешиваемого тела, то и в результате измеряют его вес.

Для измерения знакопеременных деформаций помимо тензодатчиков часто используют пьезоэлектрические датчики. Последние в этих приложениях вытеснили тензодатчики благодаря лучшим техническим и эксплуатационным характеристикам. Недостатком пьезодатчиков является непригодность их для измерения медленных или статических деформаций.

Измерения других неэлектрических величин

Описанный принцип измерения деформации с помощью тензорезисторов в тензометрии сохраняется для измерения иных неэлектрических величин с применением других резистивных датчиков, сопротивление которых изменяется под воздействием неэлектрической величины.

Измерение температуры

В этих приложениях применяются резистивные датчики, находящиеся в тепловом равновесии с изучаемым телом, сопротивление датчиков изменяется при изменении их температуры. Также применяются датчики не контактирующие непосредственно с изучаемым телом, а измеряющие интенсивность теплового излучения от объекта, например, болометрические пирометры.

В качестве термочувствительных датчиков обычно используются резисторы, изготовленные из металлов — термометры сопротивления, имеющие положительный температурный коэффициент сопротивления, или полупроводниковые — терморезисторы с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления.

Косвенно через измерение температуры также производится измерение теплопроводности, теплоёмкости, скорости потоков газов и жидкостей в термоанемометрах и измерение иных неэлектрических величин, связанных с температурой, например, концентрации компонента в газовой смеси с помощью термокаталитических датчиков и датчиков теплопроводности в газовой хроматографии.

Измерение потоков излучения

В фотометрах применяются датчики, изменяющие своё сопротивление в зависимости от освещённости — фоторезисторы. Также существуют резистивные датчики для измерения потоков ионизирующих излучений.

Модификации

Используя мост Уитстона, можно с большой точностью измерять сопротивление.

Различные модификации моста Уитстона позволяют измерять другие физические величины:

ёмкость;
индуктивность;
импеданс;
концентрацию газов;
и другое.

Прибор explosimeter (англ.) позволяет определить, превышена ли допустимая концентрация горючих газов в воздухе.

Мост Кельвина (англ. Kelvin bridge), также известный как мост Томсона (англ. Thomson bridge), позволяет измерять малые сопротивления, изобретён Томсоном.

Прибор Максвелла позволяет измерять силу переменного тока, изобретён Максвеллом в 1865 году, усовершенствован Блюмлейном около 1926 года.

Мост Максвелла (англ. Maxwell bridge) позволяет измерять индуктивность.

Мост Фостера (англ. Carey Foster bridge) позволяет измерять малые сопротивления, описан Фостером (англ. Carey Foster) в документе, опубликованном в 1872 году.

Делитель напряжения Кельвина-Варли (англ. Kelvin–Varley divider) построен на основе моста Уитстона.

Промышленные образцы

В СССР и России Краснодарским заводом измерительных приборов выпускались следующие марки измерительных мостов с ручной наводкой на равновесие^[3]:

ММВ (измерения сопротивления проводников постоянному току);
Р333 (измерение по схеме одинарного моста, определение места повреждения кабеля по схемам петли Муррея и Варлея);
МО-62.

См. также

Мост Шеринга — схема для измерения ёмкости.
Потенциометр (англ. potentiometer) — прибор для измерения ЭДС.
Омметр (англ. ohmmeter) — прибор для измерения сопротивления.
Реохорд — устройство для измерения сопротивления и ЭДС.

Примечания

↑ Мостик Витстона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ ¹ ² Марио Льоцци История физики — М.: Мир, 1970 — С. 261.
↑ Электротехнический справочник, 1980, с. 190.

Литература

Панфилов В. А. Электрические измерения. — Академия, 2006.

Электротехнический справочник. В 3-x томах / Герасимов В. Г. и др. — 6-е издание. — М.: Энергия, 1980. — Т. 1. — 520 с.

[1] Мостик Витстона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[Льоцци-2] ¹ ² Марио Льоцци История физики — М.: Мир, 1970 — С. 261.

[_bb402a4654444232-3] Электротехнический справочник, 1980, с. 190.

[1]

[2]

[3]

Измерительный мост

Содержание