Подмодуль

Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца $R$ является подмодулем левого (правого) $R$-модуля $R$.

Связанные определения

• Подмодуль, отличный от всего модуля, называется собственным.
• Подмодуль называется больши́м (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым подмодулем.
  • Например, целые числа образуют большой подмодуль группы рациональных чисел.
• Каждый модуль является большим подмодулем своей инъективной оболочки.
• Подмодуль $A$ модуля $B$ называется малым (или косущественным), если для любого подмодуля $A'\subset B$ равенство $A+A'=B$ влечет $A'=B$.
  • Малым оказывается, например, всякий собственный подмодуль цепного модуля.

Свойства

• Множество подмодулей данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекиндовой решёткой.
• Сумма всех малых подмодулей совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей.
• Левый идеал $I$ принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда $IM$ мал в $M$ для всякого конечно порождённого левого модуля $M$.
• Элементы малого подмодуля являются необразующими, то есть любая система образующих модуля остается таковой после удаления любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!).
• Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ.
• Если $\phi$ ― гомоморфизм модуля $A$ в модуль $B$, то множество
      $\phi ^{-1}(0)\subset A$
  оказывается подмодулем модуля $A$ и называется ядром гомоморфизма $\phi$.
  • Каждый подмодуль служит ядром некоторого гомоморфизма.

Литература

• Каш Ф. Модули и кольца, — пер. с нем., М., 1981;
• Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, — пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.