Факторсистема

Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).

Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа, факторкольцо, факторалгебра являются факторсистемами над группой, кольцом, алгеброй над полем соответственно.

Определение

Для алгебраической системы ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$, $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$, $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ и бинарного отношения $\sigma \subseteq A\times A$, являющегося конгруэнцией над ${\mathfrak {A}}$, то есть, стабильного относительно каждой из основных операций $f_{i}\in F$ — из вхождения в отношение некоторого набора $\forall _{j\in 1\dots {n_{i}}}(a_{j},b_{j})\in \sigma$ следует выполнение $(f(a_{1},\dots a_{n_{i}}),f(b_{1},\dots b_{n_{i}}))\in \sigma$ — факторсистема строится как алгебраическая система ${\mathfrak {A}}/\sigma$, с носителем $A/\sigma$ — фактормножеством над $A$ относительно конгруэнции $\sigma$, следующим набором операций:

$\langle f_{1}^{\star }:(A/\sigma )^{n_{1}}\to A/\sigma ,\dots f_{n_{i}}^{\star }:(A/\sigma )^{n_{i}}\to A/\sigma ,\dots \rangle$

и следующим набором отношений:

$\langle r_{1}^{\star }\subseteq (A/\sigma )^{m_{1}},\dots r_{m_{i}}^{\star }\subseteq (A/\sigma )^{m_{i}},\dots \rangle$,

где $^{\star }$ означает переход к классам смежности относительно конгруэнции $\sigma$:

$f^{\star }([a_{1}]_{\sigma },\dots [a_{n}]_{\sigma })=[f(a_{1},\dots a_{n})]_{\sigma }$ для операций и

$r^{\star }([a_{1}]_{\sigma },\dots [a_{m}]_{\sigma })\Leftrightarrow \exists (b_{1}\in [a_{1}]_{\sigma },\dots b_{m}\in [a_{m}]_{\sigma })r(b_{1},\dots b_{m})$ для отношений

(класс смежности $[a]_{\sigma }$ — множество всех элементов, эквивалентных $a$ относительно $\sigma$: $\{b\in A\mid (a,b)\in \sigma \}$).

Таким образом, факторсистема ${\mathfrak {A}}/\sigma$ является однотипной с системой ${\mathfrak {A}}$. В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).

Свойства

Естественное отображение $\phi :A\to A/\sigma$, ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции: $\phi (a)=[a]_{\sigma }$, является гомоморфизмом из ${\mathfrak {A}}$ в факторсистему ${\mathfrak {A}}/\sigma$.

Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма $\phi :{\mathfrak {A}}(A,F,R)\to {\mathfrak {A}}'(A',F',R')$ и его ядерной конгурэнции $\sigma _{\phi }=\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\}$ естественное отображение $\phi ^{\star }:{\mathfrak {A}}/\sigma _{\phi }\to {\mathfrak {A}}'$ (то есть $\phi ^{\star }([a]_{\sigma })=\phi (a)$) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм $\phi$ является сильным, то есть для каждого предиката из $r'_{k}\in R'$ и любого набора элементов $a'_{1},\dots a'_{n}\in A'$ из утверждения $(a'_{1},\dots a'_{n})\in r'_{k}$ вытекает существование таких прообразов $a_{1}\in \phi ^{-1}a'_{1},\dots a_{n}\in \phi ^{-1}a'_{n}$, что $(a_{1},\dots a_{n})\in r_{k}$, то $\phi$ является изоморфизмом. Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образов. Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Кон П. . Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. . Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
• Grätzer, George. . Universal Algebra. 2nd edition. — Springer, 2008. — 585 p. — ISBN 978-0-387-77486-2.