Авторегресивна умовна гетероскедастичність

В економетриці, Авторегресивні умовно гетероскедастичні (АРУГ) (англ. Autoregressive conditional heteroskedasticity, ARCH) моделі використовуються для опису і моделювання часових рядів. Такі моделі використовуються у випадках коли є підстави вважати, що в на кожному відрізку часу, дисперсія часового ряду залежить від різних параметрів і не є сталою.

АРУГ(q) (ARCH(q)) модель

Нехай потрібно змоделювати часовий ряд використовуючи АРУГ процес. Позначимо $~\epsilon _{t}~$ похибки (залишки доходів відносно середнього процесу). Ці $~\epsilon _{t}~$ розкладаються на стохастичний член, $z_{t}$, та стандартне відхилення, залежне від часу, $\sigma _{t}$. $\sigma _{t}$ характеризує величину $~\epsilon _{t}~$ наступним чином

$~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~$

тут $z_{t}$ — стандартна нормальна випадкова величина (математичне сподівання = 0, дисперсія = 1), (тобто, $z_{t}{\overset {\textrm {iid}}{\thicksim }}N(0,1))$ і ряд $\sigma _{t}^{2}$ моделюється як

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}$

де $~\alpha _{0}>0~$ та $\alpha _{i}\geq 0,~i>0$.

Параметри АРУГ(q) моделі можуть бути оцінені методом найменших квадратів. Метод тестування кількості лагів похибок моделі УАРГ з використанням методу множників Лагранжа запропонував Роберт Енґл. Процедура тестування здійснюється виконанням кроків:

1. Оцінити найкращу підгонку АР(q) модель $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$.
2. Отримати квадрати похибок ${\hat {\epsilon }}^{2}$ і зрегресувати їх на константі та q лагах (запізненнях):

   ${\hat {\epsilon }}_{t}^{2}={\hat {\alpha }}_{0}+\sum _{i=1}^{q}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2}$

   тут q кількість запізнень УАРГ процесу.

3. Нульова гіпотеза полягає в тому, що якщо ми не маємо АРУГ компонентів, тоді має виконуватися $\alpha _{i}=0\ \forall \ i=1,\cdots ,q$. Альтернативна гіпотеза про присутність УАРГ компонентів перевіряється тим, що принаймні один оцінений параметр $\alpha _{i}$ суттєво відрізняється від нуля. Для вибірки з T похибок за умови вірності нульової гіпотези (похибки не є АРУГ процесом) тестова статистика TR² має $\chi ^{2}$ розподіл з q ступенями свободи. Якщо TR² більше ніж відповідний квантиль хі-квадрат розподілу ми відкидаємо нульову гіпотезу і робимо висновок, що присутній УАРГ ефект у АРРС моделі. Якщо TR² — менше ніж квантиль хі-квадрат розподілу ми не відкидаємо нульову гіпотезу.