Квадратриса

Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Кінематичне визначення

Розглянемо квадрат $ABCD$ (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка $E$ рівномірно рухається по дузі від точки $D$ до точки $B$ ; одночасно відрізок $A'B'$ рівномірно рухається з позиції $DC$ в позицію $AB$ . Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса $AE$ та відрізка $A'B'$ опише квадратрису (позначена червоним).

Рівняння кривої

В полярних координатах:

\rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}.

Виведення

Виведемо рівняння квадратриси у полярних координатах. Нехай

R

— радіус кола,

\varphi

— поточний кут

FAG

,

\rho =AF

— полярний радіус. Для зручності введемо час

t

, який за період руху зміняватиметься з 0 до 1. Тоді рівномірний рух точки

E

по дузі довжиною

\textstyle {\frac {\pi }{2}}

можна виразити рівнянням:

\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).

Рівномірний рух відрізка $A'B'$ виразиться рівнянням:

A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R

Виключаючи з рівнянь $1-t$ , отримаємо остаточно:

\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.

в прямокутних координатах можна записати рівняння квадратриси в наступному вигляді:

x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}

Виведення

Приводимо рівняння в полярних координатах до наступного стану:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Врахувавши $\rho \sin \varphi =y$ , отримаємо

y={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Із геометричних міркувань: $\textstyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$ . Тоді рівняння постане у вигляді:

{\frac {\pi y}{2R}}=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}

Беремо тангенс обох частин:

\operatorname {tg} {\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}

тобто

x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}

Трисекція кута

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай $EAB$ (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:

Знаходимо точку $F$ на квадратрисі і її ординату $A'$ .
Відкладаємо на відрізку $AA'$ його третю частину; отримаємо точку $H$ .
Знаходимо на квадратрисі точку $K$ з ординатою $H$ .
Проводимо промінь $AK$ . Кут $KAB$ — шуканий.

Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура круга

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса $R$ . Алгебраїчно це означає рішення рівняння : $x^{2}=\pi R^{2}$ .

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса $AG$ її нижньої точки дорівнює ${\frac {2R}{\pi }}$ . Відобразимо це у вигляді пропорції: $C:2R=2R:AG$ , де $C=2\pi R$ — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини $C$ . Прямокутник із сторонами $R$ і $C/2$ буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.