Ядро (лінійна алгебра)

Ядро лінійного відображення (ядро матриці) A розміру m × n, це множина

${\text{Ker}}(\mathbf {A} )=\left\{{\textbf {x}}\in {\textbf {R}}^{n}:\mathbf {Ax} ={\textbf {0}}\right\}$

Матрицю $\mathbf {A}$ розглядають як матрицю лінійного відображення із простору розмірності n в простір розмірності m.

Для знаходження ядра матриці потрібно розв'язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад

Розглянемо матрицю

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.$

Нульовий простір цієї матриці утворюють всі вектори (x, y, z) ∈ R³ для яких

${\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}$

Це можна записати в вигляді однорідної системи лінійних рівнянь із шуканими x, y і z:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}$

І далі у вигляді матриці:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].$

Із використанням методу Жордана Гауса, переходимо до:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0.625&0\\0&1&1.625&0\end{array}}\right].$

Отже:

${\begin{alignedat}{7}x=\;&&-0.625c\\y=\;&&-1.625c.\end{alignedat}}$

Тепер ми можемо записати нульовий простір (розв'язки Ax = 0) в термінах c (яка є нашою вільною змінною), де c є скаляром:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}\,\,\,-0.625\\-1.625\\1\end{bmatrix}}.$

Нульовий простір A збігається з множиною розв'язків цих рівнянь (в цьому випадку, пряма через початок координат в R³).

Див. також

• Ядро (алгебра)
• Ядро та образ лінійного оператора
• Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)