Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 24

Reihen

Wir betrachten Reihen von komplexen Zahlen.

Definition

Es sei ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$

Falls die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Alle Begriffe für Folgen übertragen sich auf Reihen, indem man eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ als Folge der Partialsummen ${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ auffasst. Wie schon bei Folgen kann es sein, dass die Summation nicht bei ${}k=0$, sondern bei einer anderen Zahl beginnt.

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq m=n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 24.1.

$\Box$

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen ${}s$ und ${}t$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ mit ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist ebenfalls konvergent mit der Summe ${}s+t$.
2. Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ ist auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ mit ${}d_{n}=\lambda a_{n}$ konvergent mit der Summe ${}\lambda s$.

Beweis

Siehe Aufgabe 24.3.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist

${}\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 24.2.

$\Box$

Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt, dass man einen beliebig weiten Überhang mit gleichförmigen Bauklötzen bauen kann.

Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}.$

Es geht also um die „unendliche Summe“ der Stammbrüche

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots .$

Diese Reihe divergiert: Für die ${}2^{n}$ Zahlen ${}k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist

${}\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$

Daher ist

${}\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt ***** nicht konvergent sein.

Nikolaus von Oresme (1330-1382) bewies, dass die harmonische Reihe divergiert.

Satz (Leibnizkriterium für alternierende Reihen)

Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.

Beweis

Wir setzen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x_{k}\,.$

Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes ${}n$ gilt wegen ${}x_{2n+2}\leq x_{2n+1}$ die Beziehung

${}s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\leq s_{2n}\,,$

d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen

${}s_{0}\geq s_{2n}\geq s_{2n-1}\geq s_{1}\,.$

Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Korollar 8.10 konvergent. Wegen ${}s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ stimmen die Grenzwerte überein.

$\Box$

Absolute Konvergenz

Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

Satz

Eine absolut konvergente Reihe von komplexen Zahlen

konvergiert.

Beweis

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert =\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Daher ist

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \vert {\sum _{k=m}^{n}\vert {a_{k}}\vert \,}\vert \leq \epsilon \,,$

was die Konvergenz bedeutet.

$\Box$

Beispiel

Eine konvergente Reihe muss nicht absolut konvergieren, d.h. Satz 24.8 lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des Leibnizkriteriums konvergiert die alternierende harmonische Reihe

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\ldots \,,$

und zwar ist ihr Grenzwert ${}\ln 2$, was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach Beispiel 24.5 divergiert.

Satz (Majorantenkriterium)

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$.

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergent.

Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.

$\Box$

Die geometrische Reihe und das Quotientenkriterium

Dieses Bild veranschaulicht das Verhalten der geometrischen Reihe zu ${}z={\frac {1}{4}}$. Die Grundseite des Quadrates sei ${}2$, dann passt die geometrische Reihe dreimal in dieses Quadrat rein. Der jeweilige Flächeninhalt der drei Reihen ist ${}{\frac {4}{3}}$.

Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ heißt geometrische Reihe zu ${}z\in {\mathbb {C} }$, es geht also um die Summe

$1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots .$

Die Konvergenz hängt wesentlich vom Betrag von ${}z$ ab.

Satz

Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

Beweis

Für jedes ${}z$ gilt die Beziehung

${}(z-1){\left(\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right)}=z^{n+1}-1\,$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei ${}z\neq 1$)

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\,.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ und ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert dies wegen Aufgabe 19.9 und Fakt ***** gegen ${}{\frac {-1}{z-1}}={\frac {1}{1-z}}$.

$\Box$

Satz

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit

${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

für alle ${}k\geq k_{0}$ (Insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$).

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

Beweis

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir ${}k_{0}=0$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle ${}a_{k}$ nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

${}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}q^{k}\,.$

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.

$\Box$

Summierbarkeit

Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dabei kann sich sowohl die Summe als auch die Eigenschaft, ob eine konvergente Reihe vorliegt, ändern, allerdings nicht, wenn die Reihe absolut konvergent ist, siehe Aufgabe 24.8 und Aufgabe *****. Wenn man sich für die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen interessiert, so ist es natürlicher, dies direkt als die Summe ${}\sum _{p{\text{ Primzahl}}}{\frac {1}{p}}$ aufzufassen, anstatt die Primzahlen durchzunummerieren, um eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Reihe zu haben. Wenn man zwei absolut konvergente Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ multiplizieren möchte, so geht es nach der Regel, jeden Summanden mit jedem Summanden zu multiplizieren, um die Summe aller Einzelprodukte ${}a_{i}b_{j}$, ${}(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, wobei eben ${}\mathbb {N} ^{2}$ die natürliche Indexmenge ist, für die es keine naheliegende Ordung gibt. In der Definition von Cauchy-Produkt werden die Produkte mit konstanter Indexsumme zusammengefasst, um eine Summationsreihenfolge festzulegen, es gibt aber auch noch viele andere Möglichkeiten. Vor diesem Hintergrund ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. Wir werden diese Theorie nicht systematisch entwickeln, sondern nur den großen Umordnungssatz beweisen, den wir bald für das Entwickeln einer Potenzreihen in einem neuen Entwicklungspunkt benötigen. Die Familie sei als ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, gegeben. Für jede endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen

${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}\,.$

Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen ${}a_{E}$ Bezug nehmen.

Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$. Im summierbaren Fall heißt ${}s$ die Summe der Familie.

Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung

${}\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.

Lemma

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen.

Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.

Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe ${}s$, und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Mengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Abschätzung ${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Für jede zu ${}E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge ${}D$ gilt dann

${}{\begin{aligned}\vert {a_{D}}\vert &=\vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s-a_{E_{0}}+s}\vert \\&\leq \vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&=\vert {a_{E_{0}\cup D}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{n}\subseteq I$ derart, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$ die Abschätzung ${}\vert {a_{D}}\vert \leq 1/n$ gilt. Wir können annehmen, dass ${}E_{n}\subseteq E_{n+1}$ für alle ${}n$ gilt. Wir setzen

${}x_{n}:=a_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}a_{i}\,.$

Für ${}k\geq m\geq n$ gilt

${}\vert {x_{k}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{i\in E_{k}}a_{i}-\sum _{i\in E_{m}}a_{i}}\vert =\vert {a_{E_{k}\setminus E_{m}}}\vert \leq 1/m\leq 1/n\,,$

da die Menge ${}E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu ${}E_{m}$ ist. Daher ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von ${}{\mathbb {C} }$ konvergent gegen ein ${}s\in {\mathbb {C} }$.
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe ${}s$. Es sei dazu ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1/n\leq \epsilon /2$. Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben ${}\vert {x_{n}-s}\vert \leq \epsilon /2$. Für jedes endliche ${}E\supseteq E_{n}$ schreiben wir ${}E=E_{n}\cup D$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$. Damit gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {a_{E}-s}\vert &=\vert {a_{E_{n}}+a_{D}-s}\vert \\&\leq \vert {a_{E_{n}}-s}\vert +\vert {a_{D}}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge.

Dann ist auch ${}a_{i}$ , ${}i\in J$, summierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe 24.12.

$\Box$

Fußnoten

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